Todos los anillos son conmutativos y unitales.
Supongamos que $A$ es un anillo en el que el ideal cero puede escribirse como un producto de ideales maximales de $A$ .
Intento demostrar que $A$ es noetheriano si y sólo si es artiniano:
Prueba. Comenzamos recordando el siguiente hecho:
Dato 1 . Sea $M$ ser un $R$ -y $N$ es un submódulo de $M$ . Entonces $M$ es noetheriano/artiniano si y sólo si ambos $M/N$ y $N$ son Noetherianos/Artinianos.
Supongamos que $(0)=\mathfrak{m}_1\ldots\mathfrak{m}_k$ donde el $\mathfrak{m}_i$ son máximos. Consideremos entonces la cadena $$(0)=\mathfrak{m}_1\ldots\mathfrak{m}_k\subseteq\ldots\subseteq\mathfrak{m}_1\mathfrak{m}_2\subseteq\mathfrak{m}_1\subseteq A.$$
Para cada $1<i\leq k$ , dejemos que $M_i = \mathfrak{m}_1\ldots\mathfrak{m}_{i-1}/\mathfrak{m}_1\ldots\mathfrak{m}_i$ como $A$ -módulo. Obsérvese que $\mathfrak{m}_i\subseteq\text{Ann}(M_i)$ y así, para cada $1<i\leq k$ podemos considerar $M_i$ como $A/\mathfrak{m}_i$ -con multiplicación escalar definida por $$(a+\mathfrak{m}_i)(x+\mathfrak{m}_1\ldots\mathfrak{m}_i)=ax+\mathfrak{m}_1\ldots\mathfrak{m}_i.$$ De ello se deduce que $M_i$ es artiniano como $A/\mathfrak{m}_i$ -si y sólo si es noetheriano como tal. Sin embargo, el $A/\mathfrak{m}_i$ -submódulos de $M_i$ son exactamente iguales que los $A$ -submódulos de $M_i$ y así $M_i$ es artiniano como $A$ -si y sólo si es noetheriano como un $A$ -módulo. Pero cada $M_i$ es artiniano/noetheriano (como un $A$ -) si y sólo si $A$ es un anillo Artiniano/Noetheriano (por aplicación repetida del Hecho 1). Por lo tanto $A$ es un anillo artiniano si y sólo si es un anillo noetheriano. //
Estaría muy agradecido si alguien pudiera decirme si esta prueba es correcta o no.
Muchas gracias.
