¿Factores en las predicciones para la prueba de brillo superficial de Tolman?

Question

http://en.wikipedia.org/wiki/Tolman_surface_brightness_test

Dice:

En un universo simple (estático y plano), la luz recibida de un objeto disminuye inversamente con el cuadrado de su distancia, pero el área aparente del objeto también disminuye inversamente con el cuadrado de la distancia, por lo que el brillo de la superficie sería independiente de la distancia. En un universo en expansión, sin embargo, hay dos efectos que reducen la potencia detectada procedente de objetos lejanos. En primer lugar, la velocidad a la que se reciben los fotones se reduce porque cada fotón tiene que viajar un poco más lejos que el anterior. En segundo lugar, la energía de cada fotón observado se reduce por el corrimiento al rojo. Al mismo tiempo, los objetos lejanos parecen más grandes de lo que realmente son porque los fotones observados fueron emitidos en un momento en el que el objeto estaba más cerca. Sumando estos efectos, el brillo superficial en un universo en expansión simple (geometría plana y expansión uniforme en el rango de corrimientos al rojo observados) debería disminuir con la cuarta potencia de (1+z). Hasta la fecha, la mejor investigación sobre la relación entre el brillo superficial y el desplazamiento al rojo se ha llevado a cabo utilizando el telescopio Keck de 10 m para medir el desplazamiento al rojo de casi mil galaxias y el telescopio espacial Hubble de 2,4 m para medir el brillo superficial de esas galaxias[1]. El exponente hallado no es 4, como cabría esperar en el modelo de expansión más simple, sino 2,6 o 3,4, dependiendo de la banda de frecuencias.

Estoy tratando de entender dónde $(1 + z)^4$ entra.

Específicamente, dice:

hay dos efectos que reducen la potencia detectada procedente de objetos lejanos.

Pregunta

¿Contribuyen cada uno de los dos efectos $(1 + z)^2$ que luego se multiplican?

También dice

En primer lugar, la velocidad a la que se reciben los fotones se reduce porque cada fotón tiene que viajar un poco más lejos que el anterior.

Digamos que sólo se eliminó este factor. ¿Se reduciría entonces la luminosidad prevista en $(1 + z)^2$ ?

Answer 1

El brillo superficial se define como el flujo por ángulo sólido $$S=\frac{f}{\Omega}$$ . El ángulo sólido es $$\Omega=\pi\bigg(\frac{D}{d_A}\bigg)^2$$ donde $d_A$ es la distancia angular del diámetro. Esto nos da $$S=\frac{f d_A^2}{\pi D^2}$$ donde la distancia de diámetro angular está relacionada con la distancia de luminosidad (véase http://en.wikipedia.org/wiki/Luminosity_distance ) por $$d_A=\frac{d_L}{(1+z)^2}.$$ Se puede llegar a este resultado para la distancia de diámetro angular combinando las dos ecuaciones para la distancia de diámetro angular y la distancia de luminosidad (véase la página de wikipedia sobre medidas de distancia en cosmología http://en.wikipedia.org/wiki/Distance_measures_(cosmología) ). Combinando esta relación con la del brillo superficial se obtiene $$S=\frac{f d_L^2}{\pi D^2 (1+z)^4}$$ que es decreciente con la 4ª potencia de (1+z) como has dicho antes. El exponente real para el brillo superficial dependerá de la forma de la distancia de luminosidad del modelo cosmológico utilizado por lo que sólo se obtiene el $(1+z)^{-4}$ si la distancia de luminosidad es independiente de z. También es interesante observar que en el caso estacionario en el que $d_A=d_L$ no hay dependencia (1+z). Espero que esto ayude.