Dado $f:\left(x,y\right) \mapsto \left(u,v\right)$ para encontrar regiones en $xy$ -que corresponden a una región determinada en $uv$ -avión

Question

Sea $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ viene dada por $$\left(u,v\right)=f\left(x,y\right)=\left(x-y,xy\right)$$ Problema : ¿Qué regiones de $xy$ -en el rectángulo $\left[0,1\right] \times \left[1,4\right]$ en el $uv$ -avión.

Mis progresos : $u=x-y,\,v=xy \Rightarrow y=\frac{-u\pm\sqrt{u^2+4v}}{2},\,x=\frac{2v}{-u\pm\sqrt{u^2+4v}}$ . Por lo tanto, está claro que habrá dos regiones en el $xy$ -(uno correspondiente a $+\sqrt{u^2+4v}$ y la otra correspondiente a $-\sqrt{u^2+4v}$ ) que corresponden a $\left[0,1\right] \times \left[1,4\right]$ en el $uv$ -avión. Las regiones vendrán dadas por \begin{align*} &R_1=\left\{\left(\frac{2v}{-u+\sqrt{u^2+4v}},\frac{-u+\sqrt{u^2+4v}}{2}\right):\left(u,v\right) \in \left[0,1\right] \times \left[1,4\right]\right\}\\ &R_2=\left\{\left(\frac{2v}{-u-\sqrt{u^2+4v}},\frac{-u-\sqrt{u^2+4v}}{2}\right):\left(u,v\right) \in \left[0,1\right] \times \left[1,4\right]\right\} \end{align*}

Dónde estoy atascado : No encuentro $R_1$ y $R_2$ explícitamente. Agradecería cualquier ayuda al respecto.

Answer 1

Pista: Aquí hay una trama:

\begin{align}\color{blue}{0\leq x-y\leq1}\\ \color{green}{1\leq xy\leq4}\\ \end{align}

Por tanto, una solución podría ser: $$(x,y)\in[1,2]\times \{1\}\cup\{2\}\times [1,2]$$ En general, servirá cualquier región que contenga una curva que vaya de un límite a otro de la región azul, y lo mismo para la curva verde.

Answer 2

CONSEJO

El segmento de $(0,1)$ a $(1,1)$ es decir $(x,y)=(t,1)$ con $t\in[0,1]$ se asigna a

$$(u,v)=(x-y,xy)=(t-1,t) \quad v=u+1$$

de $(-1,0)$ a $(0,1)$ etc.