Categoría monoidal simétrica libre en una categoría monoidal

Question

Considere la $2$ -categorías

• $\mathsf{MonCat}$ de categorías monoidales, con funtores monoidales fuertes y transformaciones monoidales,
• $\mathsf{SymMonCat}$ de categorías simétricas monoidales, con funtores simétricos monoidales fuertes y transformaciones simétricas monoidales.

Existe un functor olvidadizo $\mathsf{SymMonCat} \to \mathsf{MonCat}$ que probablemente tiene un adjunto izquierdo. Es decir, para una categoría monoidal dada $C$ debería existir una categoría monoidal simétrica libre $C_{\text{sym}}$ en $C$ . Ahora mi pregunta es: ¿Cómo es explícitamente esta categoría simétrica monoidal? Me gustaría conocer una descripción explícita de sus objetos y sus morfismos (no sólo alguna construcción general etc. que la produzca de alguna manera).

Por ejemplo, si $C$ es la categoría monoidal libre sobre un objeto, que es discreta y viene dada por $C=\{1,X,X^2,\dotsc\}$ entonces $C_{\mathrm{sym}}$ es la categoría monoidal simétrica libre sobre un objeto, es decir, la categoría grupoide de permutaciones donde tenemos los mismos objetos, pero $$\mathrm{Hom}(X^n,X^m)=\left\{\begin{array}{cc} \Sigma_n & n = m, \\ \emptyset & \text{else}. \end{array}\right.$$

El análogo descategorizado es el functor olvidadizo $\mathsf{CMon} \to \mathsf{Mon}$ que tiene adjunto izquierdo $M \mapsto M_{\mathrm{sym}}:=M / \langle xy = yx : x,y \in M\rangle$ . Dos elementos de $M$ se igualan en $M_{\mathrm{sym}}$ si tienen la forma $x_1 \cdot \dotsc \cdot x_n$ y $x_{\sigma(1)} \cdot \dotsc \cdot x_{\sigma(n)}$ para algunos $\sigma \in \Sigma_n$ . Esencialmente lo mismo funciona con estricto categorías monoidales (simétricas). En cuanto al caso general, creo que hay que "imponer una razón" por la que $X \otimes Y$ y $Y \otimes X$ se convierten en isomorfas en $C_{\text{sym}}$ para $X,Y \in C$ .

Answer 1

Primero, habiendo visto la versión editada de la pregunta de Martin, dispongamos rápidamente de la construcción de la categoría monoidal simétrica libre generada por una categoría $C$ . Los objetos son tuplas $(x_1, \ldots, x_n)$ de objetos de $C$ . Los morfismos son permutaciones etiquetadas, donde las permutaciones se visualizan convenientemente como diagramas de cadenas, cada cadena etiquetada por un morfismo en $C$ . Para componer tales diagramas etiquetados, basta con componer los diagramas de cadenas, componiendo las etiquetas de las cadenas en $C$ por el camino.

La categoría monoidal simétrica libre $Sym(M)$ en una categoría monoidal $M$ se forma a partir de la categoría monoidal simétrica libre $S (U M)$ sobre la categoría subyacente $U M$ por isomorfismos adyacentes $\phi_{x_1, \ldots, x_n}: (x_1, \ldots, x_n) \to x_1 \otimes \ldots \otimes x_n$ donde el $x_i$ son objetos de $M$ la expresión $(x_1, \ldots, x_n)$ es el producto formal monoidal en $S(UM)$ y $x_1 \otimes \ldots \otimes x_n$ es el producto tensorial en $M$ .

Más concretamente, defina los objetos de $Sym(M)$ ser tuplas $(x_1, \ldots, x_n)$ de objetos de $M$ . Definir morfismos $(x_1, \ldots, x_n) \to (y_1, \ldots, y_m)$ como clases de equivalencia de pares $(p, f)$ donde $p$ es una permutación en $n$ elementos, y $f$ es un $M$ -etiquetado bosque plano de $m$ árboles enraizados. (Debe pensarse aquí en la multicategoría libre generada por una categoría.) Formalmente, un bosque planar puede describirse como un functor $[n]^{op} \to \Delta$ donde $n$ es la categoría $1 \leq \ldots \leq n$ y $\Delta$ es la categoría de los ordinales finitos (posiblemente vacíos). Según la forma obvia de dibujar tales bosques, la lista ordenada de hojas del bosque se etiqueta por $(x_{p(1)}, \ldots, x_{p(n)})$ y la lista ordenada de raíces por $(y_1, \ldots, y_m)$ . Las aristas se etiquetan mediante objetos de $M$ y cada nodo interno con $k$ entradas etiquetadas (en orden) por $m_1, \ldots, m_k$ y salida $m$ está etiquetado por un morfismo $f: m_1 \otimes \ldots \otimes m_k \to m$ .

Existe una forma evidente, utilizando la estructura monoidal de $M$ de evaluar dicho bosque etiquetado $f$ como un morfismo $ev(f): x_{p(1)} \otimes \ldots \otimes x_{p(n)} \to y_1 \otimes \ldots \otimes y_m$ en $M$ . Consideramos dos flechas $(p, f)$ y $(p', f')$ son equivalentes si $p = p'$ como permutaciones y $ev(f) = ev(f')$ .

Ahora definimos la composición de pares. La idea principal es reescribir la composición de un bosque seguido de una permutación,

$$(x_1, \ldots, x_n) \stackrel{(1, f)}{\to} (y_1, \ldots, y_m) \stackrel{(q, 1)}{\to} (y_{q(1)}, \ldots, y_{q(m)}),$$

en un formulario $(p, f')$ forzado por el requisito de naturalidad del isomorfismo de simetría. Es decir, si $\bar{x}_i$ es la tupla de hojas del árbol cuya raíz es $y_i$ entonces tenemos una permutación en bloque $bl(q)$ tomando $(\bar{x}_1, \ldots, \bar{x}_m)$ a $(\bar{x}_{q(1)}, \ldots, \bar{x}_{q(m)})$ . La permutación $q$ también puede aplicarse al $m$ árboles del bosque reordenándolos, dando lugar a un nuevo bosque $\mathrm{perm}_q(f)$ y la composición $(q, 1) \circ (1, f)$ se define como $(bl(q), \mathrm{perm}_q(f))$ . Entonces, si tenemos $(p, f): (x_1, \ldots, x_n) \to (y_1, \ldots, y_m)$ y $(q, g): (y_1, \ldots, y_m) \to (z_1, \ldots, z_p)$ definimos su compuesto como

$$(bl(q) \circ p, g \circ \mathrm{perm}_q(f))$$

donde el primer componente es por composición de permutaciones y el segundo es por la forma habitual de componer bosques enchufando raíces de un bosque plano de árboles en hojas de otro.

Los detalles restantes de que todo esto funcione se dejarán al lector. Comentaré que el procedimiento de reescritura de claves anterior es un ejemplo de una especie de ley distributiva; hay más detalles al respecto en algunas notas de mi web nLab; véase ici .

Answer 2

Más bien una especulación:

Si pensamos en las Categorías Monoidales Simétricas como $\Gamma$ objetos en $\mathsf{Cat}$ y Monoidal como $\Delta$ objetos en $\mathsf{Cat}$ entonces la restricción de $\mathsf{SymMon}$ a $\mathsf{Mon}$ sólo viene de tirar hacia atrás a lo largo de un cierto functor $\Delta^{op}\rightarrow\Gamma^{op}$ . Probablemente el adjunto debería darse empujando hacia adelante a lo largo de este mapa.

Answer 3

Espero haberlo hecho bien:

Sea $\mathcal{C}$ una categoría monoidal. Definir una categoría $ \mathcal{C}_S$ con objets la clase definida para como sigue: cualquier objeto de $\mathcal{C}$ también es un objeto de $\mathcal{C}_S$ (lo llamamos elemental), da $X, Y \in \mathcal{C}$ entonces $X\cdot Y$ pertenecen a $\mathcal{C}_S$ (lo llamamos objeto compuesto). Y por inducción: Si $X $ son objetos elementales y $A, B$ son objetos compuestos, entonces $X\cdot(A)$ , $ (A)\cdot X$ , $ (A)\cdot (B)$ son objetos compuestos. Estos son todos los objetos de $\mathcal{C}_S$ . En pocas palabras estos objetos son cadenas finitas de objetos de $\mathcal{C}$ con una disposición (bien definida) de paréntesis, sobre estos objetos está bien definida la función longitud (la longitud de la cadena subyacente) por $|X|:=1$ si $X$ es elemental y con $|A\cdot B|:= |A| +|B|$ de forma similar tenemos la función "underling string" definida como $stg(X)= X$ si $X$ es elemental y con $ stg(A\cdot B):= stg(A) \ast stg(B)$ (concatenación de cadena), por ejemplo si $A= (X\cdot Y)\cdot Z$ entonces $stg(A)=(X, Y, Z)$ y $|A|=3$ . Tenemos un mapa $[-]$ del objeto de $\mathcal{C}_S$ al objeto de $\mathcal{C}$ que es la identidad en objetos elementales y con $[A\cdot B]:= [A]\otimes [B]$ . Los morfismos de $\mathcal{C}_S$ son del tipo $f: A\to B$ donde es (identificado con) un morfismo $f: [A] \to [B]$ en $\mathcal{C}$ con identidades y composiciones de $\mathcal{C}$ De este modo, la estructura monoidal $\mathcal{C}$ se traduce en una estructura monoidal de $\mathcal{C}_S$ y escribe $A \otimes B:=A\cdot B= [A]\otimes[B]$ para $A, B\in \mathcal{C}_S$ .

A continuación, añadimos a $\mathcal{C}_S$ las permutaciones (iso)morfismos $(A, \sigma): A^\sigma\to A$ donde si $stg(A)=(A_1,\ldots, A_n)$ entonces $stg(A^\sigma)=(A_{\sigma(1)},\ldots, A_{\sigma(n)})$ y $A^\sigma$ como la cierta disposición de paréntesis de $A$ con composición $(A, \sigma)\circ (A^\sigma, \tau)=(A, \sigma\circ\tau)$ .

Y la composición de un morfismo de $\mathcal{C}_S $ con una permutación es la concatenación formal, entonces obtenemos la categoría:

$\mathcal{C}_{sy}$ donde los morfismos son coherentes (correspondencia dominio-codominio) secuencias de morfismos de $\mathcal{C}_S$ y permutaciones, la composición es por concatenación donde componemos todos los morfismos sucesivos de $\mathcal{C}_S$ o permutaciones sucesivas en todas partes es posible.

En $\mathcal{C}_{sy}$

considerando la congruencia $f\otimes 1_{B^\sigma}\circ 1_{A'}\otimes \sim f\otimes1_{B}\circ 1_A\otimes \sigma: A\otimes B^\sigma\to A'\otimes B$ para $f: A\to A'$ en $\mathcal{C}$ y $\sigma: B^\sigma\to B$ permutación y donde $1_A\otimes \sigma: A\otimes B^\sigma\to A\otimes B$ es la permutación que en detalle es $(A_1,\ldots A_n, B_1,\ldots B_m)\to (A_1,\ldots A_n, B_{\sigma(1)},\ldots B_{\sigma(m)})$ análogamente para $1_{A'}\otimes \sigma$ o más en general para dos permutaciones $\tau\otimes\sigma$ . De esta forma obtenemos la categoría $\mathcal{C}_{Sym}$ .

En $\mathcal{C}_{sym}$ definimos producto tensorial de morfismos: dado $f_n\circ \sigma_n\ldots f_1\circ \sigma_1$ y $g_n\circ \tau_n\ldots g_1\circ \tau_1$ su producto tensorial es $g_n\otimes f_n\circ \tau_n\otimes \sigma_n\ldots g_1\otimes f_1\circ \tau_1\otimes \sigma_1$ si estos tienen diferente longitud podemos insertar identidades para tener morfismo como arriba, esta operación está bien definida para la congruencia anterior (y para la propiedad bifunctorial de $\otimes$ en $\mathcal{C}$ ). La simetría en $\mathcal{C}_{sym}$ es la permutación obvia $\sigma: A\otimes B \cong B\otimes A$ en detalle $(A_1,\ldots A_n, B_1,\ldots B_m)\to (B_1,\ldots B_m, A_1,\ldots A_n)$ . Parece que los axiomas simétricos monoidales funcionan bien .

Tenemos el funtor (monoidal estricto) $J: \mathcal{C}\to \mathcal{C}_{sym}$ los mapas cualquier elemento en su singleton, que como la propiedad de petición universal para funtores monoidales estrictos (resp. fuertes, laxos) en categorías monoidales simétricas.