Supongamos que la función tiene la forma $\vec{F}(\vec{r}(t),\vec{v}(t),t)$

Question

Supongamos que la función tiene la forma $\vec{F}(\vec{r}(t),\vec{v}(t),t)$ Quiero saber que tipo de función es ? $F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R^3}$ o ....

Answer 1

En primer lugar, supongamos que $\vec F$ es un campo vectorial de valor real con tres componentes escalares, $F_x$ , $F_y$ y $F_z$ , $\vec r$ es el vector de posición en $\mathbb{R}^3$ , $\vec v$ es el vector velocidad en $\mathbb{R}^3$ y $t$ representa el tiempo (un escalar)$.

Entonces, $\vec F(\vec r(t), \vec v(t), t))$ es una correspondencia entre $\mathbb{R}^7$ a $\mathbb{R}^3$ . Por ejemplo, en coordenadas cartesianas tenemos

$$\begin{align} \vec F(\vec r(t), \vec v(t), t))&=\hat x F_x(x(t),y(t),z(t), v_x(t),v_y(t),v_z(t),t)\\\\& +\hat y F_y(x(t),y(t),z(t), v_x(t),v_y(t),v_z(t),t)\\\\ &+\hat z F_z(x(t),y(t),z(t), v_x(t),v_y(t),v_z(t),t) \end{align}$$

que muestra explícitamente la dependencia de $\vec F$ en $7$ variables.