$\Pr\{\max(X,Y,Z)=X\}$ donde $X,Y,Z$ son variables aleatorias exponenciales distribuidas independientemente

Question

Sea $X,Y,Z$ sean variables aleatorias *exponenciales independientes pero no idénticamente distribuidas.

¿Cuál es la probabilidad de que $X$ es el máximo de $X,Y,Z$ es decir $\Pr\{\max(X,Y,Z)=X\}$ ?

Mi planteamiento era ése: \begin{align*} \Pr\{\max(X,Y,Z)=X\} &= \Pr(\{X>Y\}\cap\{X>Z\})\\ &= \Pr\{X>Y\}\Pr\{X>Z\}\\ &= \Pr\{\min(X,Y)=Y\}\Pr\{\min(X,Z)=Z\}\\ &=\frac {x}{x+y} \cdot \frac{z}{x+z}, \end{align*} donde $x$ , $y$ , $z$ son las tasas de $X$ , $Y$ , $Z$ respectivamente.

¿Dónde está el error en este planteamiento?

Gracias.

Answer 1

Sea $X,Y,Z$ sean exponenciales independientes con tasas $\lambda, \mu, \nu$ .

Primero, recuerda (pruébalo por ti mismo) que si $X_1, X_2$ son exponenciales independientes con tasas $\lambda_1, \lambda_2$ entonces $$\min\{X_1,X_2\}\sim\text{Exp}(\lambda_1+\lambda_2).\tag{$ \ast $}$$

Observe que $$\{X = \max(X,Y,Z)\}\iff\{\max(Y,Z)<X\}.$$ Entonces esto sólo puede ocurrir de dos maneras: o bien $\{Y<Z<X\}$ o $\{Z<Y<X\}$ . Así, \begin{align*} P(X = \max(X,Y,Z))&= P(\max(Y,Z)<X)\\ &=P(Y<Z<X)+P(Z<Y<X)\\ &=P(Y<\min\{Z,X\})P(Z<X)+P(Z<\min\{Y,X\})P(Y<X)\tag{1}\\ &=\frac{\mu}{\lambda+\mu+\nu}\frac{\nu}{\lambda+\nu}+\frac{\nu}{\lambda+\mu+\nu}\frac{\mu}{\mu+\lambda}\tag{2}\\ &=\frac{\mu\nu}{\lambda+\mu+\nu}\left[\frac{1}{\lambda+\nu}+\frac{1}{\lambda+\mu}\right] \end{align*} donde (1) es cierto por la propiedad sin memoria, y (2) es cierto por exponenciales en competencia y el uso de $(\ast)$ .

Answer 2

Los acontecimientos $X>Z$ y $X>Z$ no son independientes, por lo que la probabilidad de que ocurran simultáneamente no es el producto de las probabilidades individuales.

Es necesario integrar la función de densidad conjunta $\rho(x,y,z)$ sobre un volumen apropiado delimitado por $x,y,z$ ser positivo y $x$ siendo mayor que $y$ y $z$ .

Me confundí porque el título dice exponencial pero el texto ya no lo menciona. En el caso de variables exponenciales la integral funciona bien.