Puntos en los sitios (etale, fppf, ... )

Question

He planteado una parte de esta cuestión en una pregunta anterior, pero esa parte de mi pregunta no ha tenido prioridad.

Etale sitio es útil - ejemplos de uso de la pequeña fppf sitio?

Sea $X$ ser un esquema (supongamos que es todo lo bonito que queramos). Hay una descripción de "puntos" en el (pequeño) sitio etale $X_{et}$ y estos son los puntos geométricos de $X$ . En términos más generales, he oído que la noción de "puntos" tiene sentido en cualquier sitio (¿quizá "cualquier" sea demasiado fuerte?).

1.) ¿Puede darme una referencia que defina los "puntos" en otros sitios. Concretamente, me interesan el pequeño sitio fppf sobre un esquema y el gran sitio etale. ¿Es la noción de "puntos" una noción inútil en otros sitios Zariski y pequeño etale?

2.) ¿Qué se "supone" que hacen los "puntos" en otros sitios? ¿Hay alguna analogía que debamos tener en cuenta (en cuanto a por qué se llaman puntos)? En el caso del yacimiento de Zariski, los "puntos" tienen una estructura natural de espacio localmente anillado - (los anillos locales son los tallos en el yacimiento de Zariski) y esto da un espacio localmente anillado canónicamente asociado a un yacimiento dado. Una analogía similar a ésta no parece sostenerse en el sitio etale pequeño sobre un esquema.

3.) A lo que sea un "punto", espero que uno tenga un anillo local naturalmente asociado. ¿Es éste el caso en el pequeño sitio fppf sobre un esquema (bonito?)? Por supuesto, es el caso del sitio etale y Zariski. El pequeño sitio fppf sobre un esquema parece un poco extraño, ya que los límites tienden a no ser dirigidos.

Answer 1

Véase SGA 4 En el artículo 7.8 de la Exposición VIII, se define un punto abstracto de un lugar como un functor del topos de ese lugar (es decir, la categoría de tramas de conjuntos en ese lugar) a la categoría de conjuntos que conmuta con límites inductivos (directos) arbitrarios y límites proyectivos (inversos) finitos.

Hay que pensar que un functor es el functor que lleva una gavilla a su tallo en ese punto (el "functor de fibra" del punto). Dado que todo functor de fibra preserva tales límites, es razonable postular estos axiomas.

Grothendieck demuestra entonces en esta exposición que en el sitio étale, cada functor que satisface el axioma anterior proviene de un punto geométrico (único) (hasta isomorfismo en un sentido convenientemente definido).

Además, y sólo encuentro esta referencia en el borrador no disponible del libro de Brian Conrad sobre la conjetura de Ramanujan, en un espacio topológico (clásico) en el que cada subconjunto irreducible tiene un único punto genérico (también conocido como punto sobrio ), como un espacio normal de Hausdorff o el espacio subyacente de un esquema, todo punto abstracto de la categoría de tramas sobre el espacio topológico corresponde a un único punto clásico. Ésta es la Proposición 2, Sección 3, Capítulo IX de Láminas en geometría y lógica .

¿Por qué caracterizar los puntos en función de sus functores? Esto encaja con el formalismo general de Tannakian, que hace hincapié en los funtores de fibra y, en particular, define el grupo fundamental como el grupo de automorfismos del funtor de fibra. Es decir, deberíamos pensar en un punto como el funtor que asigna a una gavilla su tallo en ese punto.

Esto también encaja en una filosofía más general según la cual deberíamos ignorar el sitio y centrarnos por completo en el topos. De hecho, se puede aplicar una topología de Grothendieck al topos, de modo que sea igual a la categoría de las láminas sobre sí mismo.

* Editar : También se puede encontrar en Láminas en geometría y lógica de Maclane y Moerdijk, capítulo VII, sección 5.