¿Cuándo desaparece el complejo cotangente?

Question

La pregunta ya está en el título. De forma menos sucinta, llamemos a un mapa $f:X \to Y$ de regímenes $L$ -trivial si su complejo cotangente es cuasi isomorfo a $0$ . Tales mapas tienen consecuencias teóricas de deformación sorprendentes; por ejemplo, cualquier deformación de $Y$ puede seguirse unívocamente por una deformación de $X$ .

Mi pregunta principal (y probablemente ingenua) es:

¿Existe una clasificación de $L$ -¿Mapas triviales?

Estoy seguro de que esta pregunta ya se ha planteado antes, pero no he encontrado bibliografía que la trate. Los tres ejemplos de $L$ -los mapas triviales que conozco son:

• morfismos de Etale (y estos son los sólo ejemplos bajo restricciones de finitud).
• Cualquier mapa entre perfecto $\mathbb{F}_p$ -esquemas.
• La inclusión del punto cerrado en el espectro de un anillo de valoración con grupo de valor divisible, o construcciones "divisibles" similares. Por ejemplo, $\mathrm{Spec}(\mathbb{C}) \hookrightarrow \mathrm{Spec}(\mathbb{C}[ t^{\mathbb{Q}_{\geq 0}}])$ es $L$ -trivial.

[ Editar : Esto último lo aprendí en una conversación después de plantear la primera versión de esta pregunta. ]

Se pueden obtener más ejemplos tomando colímitos filtrados de los ejemplos anteriores, pero sólo son ligeramente diferentes. Por lo tanto, una segunda pregunta es: ¿existen otros ejemplos fundamentalmente diferentes de $L$ -¿Mapas triviales?

Quizá no sea razonable esperar una clasificación, así que también me complace saber más sobre $L$ -mapas triviales en otras categorías geométricas, como apilamientos algebraicos, o esquemas/apilamientos derivados/espectrales, o espacios analíticos (complejos/rígidos), etcétera. En particular, tengo especial curiosidad por saber si $L$ -Los mapas triviales pueden comprenderse mejor utilizando la geometría algebraica derivada.

Answer 1

Editer : He aquí una posible caracterización. Como se menciona en los comentarios anteriores, la desaparición del complejo cotangente 1-truncado $\tau_{\leq 1}L_{B/A}$ de un mapa de anillos $f \colon A \to B$ es equivalente a una propiedad de elevación con respecto a las extensiones de cero cuadrado $T' \to T$ . Esto se deduce del hecho de que el espacio $Map(L_{T/A},M[1])$ es equivalente al grupoide de extensiones cuadradas nulas de $T$ en $A$ con núcleo $M$ . Aquí $M$ es un $T$ -módulo.

Reformulando esto, $\tau_{\leq 1} L_{B/A}$ desaparece si y sólo si $f$ tiene una propiedad de elevación con respecto a morfismos de álgebras simpliciales 0-truncadas tales que el núcleo está concentrado en grado 0 y es cuadrado a 0. Llamémoslas 0-concentradas.

Entonces podemos pasar a ver morfismos de álgebras simpliciales 1-truncadas con núcleo $K$ concentrado en grado 1. La propiedad de elevar al cuadrado a cero es vacua aquí, porque un producto de dos elementos en $\pi_1(K)$ estará en $\pi_2(K)$ que es cero por suposición. Llamemos a estos 1-concentrados Entonces encontramos que $\tau_{\leq 2} L_{B/A}$ desaparece si y sólo si $f$ tiene una propiedad de elevación con respecto a todos los mapas concentrados 0 y 1. Esto también se cumple porque el complejo cotangente clasifica los mapas 0- y 1-concentrados.

Creo que ahora está claro cómo seguir: $\tau_{\leq n+1}L_{B/A}$ desaparece si y sólo si $f$ tiene una propiedad de elevación con respecto a todos $m$ -mapas concentrados con $m \leq n$ . Y el complejo cotangente completo desaparece si y sólo si $f$ tiene la propiedad de elevación con respecto a $n$ -mapas concentrados para todos $n$ .

Estas direcciones uno mira si uno comienza a comprobar con respecto a $n$ -mapas concentrados para $n \geq 1$ se denominan a veces direcciones derivadas. Así pues, el teorema de Avramov podría reformularse diciendo que, bajo supuestos de finitud fuertes, la no obstrucción en las direcciones clásicas implica la no obstrucción en todas las direcciones derivadas.

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Esto es una respuesta a tu último párrafo sobre mapas L-triviales en otras categorías geométricas. Si sólo te interesan los esquemas no te dice nada interesante.

Algo para lo que es bueno el complejo cotangente es para medir la conectividad de un morfismo de anillos simpliciales. Esto también es válido sin ninguna suposición de finitud en el anillo.

Recordemos que un morfismo $f \colon A \to B$ de anillos simpliciales se denomina n-conectivo si induce isomorfismos $\pi_i (A) \to \pi_i (B)$ en grados $< n$ y un suryecto $\pi_n (A) \to \pi_n (B)$ en grado $n$ . Existe entonces un resultado que afirma que si $f$ es $n$ -entonces la homología del complejo contangente relativo $L_{B/A}$ desaparece en grados $\leq n$ . (Espero haber puesto bien todos los índices.) Así que, en particular, cualquier equivalencia de anillos simpliciales es L-trivial.

Una forma de interpretar su pregunta es preguntar cuándo se cumple lo contrario. ¿Qué sé si un morfismo de anillos simipliciales es L-trivial? Hay una inversión parcial de la afirmación anterior. A saber, si un morfismo $f \colon A \to B$ induce un isomorfismo $\pi_0(A) \to \pi_0(B)$ y es L-trivial, ¡entonces es una equivalencia! Me parece bastante sorprendente, ya que L es sólo un dato lineal, pero aún así consigue detectar equivalencias.