Ondas no estacionarias en la cuerda

Question

Mi problema es el siguiente: Suponiendo, que tenemos una cuerda (homogénea, sin pérdida de energía), con una velocidad de propagación dada: $c$ .

Sea el origen (la fuente) de la onda en $x=0$ por lo que la onda incidente (directa) tendrá forma de $$ \psi_i(x,t) ~=~ \sin\left(\omega t - k x \right) \,.$$ La fuente es sinusoidal.

En el otro extremo de la cadena (en $x=L$ ), hay un extremo fijo, sin pérdida de energía. En este punto la diferencia de fase es $k*L$ . La fuente de la onda reflejada está en el $x=L$ la distancia a la nueva fuente es $L - x$ por lo que la onda reflejada tendrá forma de $$ \psi_r(x,t) ~=~ -\sin{\left( \omega t - k L - k L + k x \right)} ~=~ -\sin{\left( \omega t + k x - 2 k L \right)} \,.$$

Sumando la onda incidente y la reflejada, tenemos $$ \psi(x,t) ~=~ 2 \cos{\left(\omega t - k L\right)} \sin{\left(-k x - k L\right)} \,,$$ utilizando la identidad trigonométrica $$ \sin{\left(a\right)} - \sin{\left(b\right)} ~=~ 2 \cos{\left( \frac{a+b}{2} \right)} \sin{\left(\frac{a-b}{2}\right)} \,.$$

El problema: esta función de onda $\psi$ será siempre una onda estacionaria, independientemente de la longitud de onda, sin embargo, la experiencia demuestra que sólo $\lambda=n*2*L$ longitudes de onda generan ondas estacionarias.

En $\psi(x,t)=2 \cos{\left(\omega t - k L \right)} \sin{\left(-k x - k L\right)}$ es similar a $\cos{\left(\omega t\right)} \sin{\left(k x\right)},$ La única diferencia es el desplazamiento de fase.

¿Dónde está el error en la derivación?

Answer 1

Has empezado con una onda incidente que viaja hacia la derecha.

$$\psi_i(x,t)=\sin(\omega\,t - k \,x)$$
y le añadimos una onda viajera izquierda que representa la onda reflejada

$$\psi_r(x,t)=\sin(\omega\,t + k \,x+ \phi)$$

observando que aún no conoces la relación de fase entre esas dos ondas.

Luego has sumado las dos ondas para representar su superposición.

$$\psi_i(x,t)+\psi_r(x,t)=\sin(\omega\,t - k \,x) + \sin(\omega\,t + k \,x+ \phi)=2\cos\left( k\,x + \dfrac \phi 2\right)\sin\left(\omega\,t + \frac \phi 2 \right)$$

y luego estableció una restricción que era que en $x=L$ la suma de la onda incidente y la onda reflejada era cero para todo el tiempo.

$$2\cos\left( k\, L + \dfrac \phi 2\right)\sin\left(\omega\,t + \frac \phi 2 \right)=0$$

Una solución es que $k \, L + \dfrac \phi 2 = \dfrac \pi 2 \Rightarrow \phi = \pi - 2\, k \, L$

Poniendo este valor de $\phi$ en la suma de las dos ondas da

$$\psi_i(x,t)+\psi_r(x,t)=2\cos\left( k\,x -k\, L + \frac \pi 2 \right)\sin\left(\omega\,t -k\,L + \frac \pi 2 \right)$$

que ciertamente tiene todas las características de una onda estacionaria para todos los valores de $k$ y longitud de onda $\lambda = \dfrac {2\pi}{k}$

Veamos qué ocurre en $x=0$

$$\psi_i(0,t)+\psi_r(0,t)=2\cos\left(-k\, L + \dfrac \pi 2 \right)\sin\left(\omega\,t -k\,L + \dfrac \pi 2 \right)$$

En esta posición la amplitud de las ondas combinadas es $2\cos\left(-k\, L + \dfrac \pi 2 \right)$ que no es cero.

Si desea que la suma sea cero en $x=0$ entonces hay que incluir una segunda restricción que, por ejemplo, podría ser

$$-k\, L + \dfrac \pi 2 = - \dfrac \pi 2 \Rightarrow k\, L = \pi \Rightarrow L = \dfrac \lambda 2$$

Así pues, una reflexión perfecta siempre producirá una onda estacionaria, pero si luego se exige que haya un nodo en una posición determinada, entonces sólo determinadas longitudes de onda pueden satisfacer esa condición.

P.D. - Por favor, compruebe las matemáticas, ya que hay un amplio margen de error por mi parte.