Falta de comprensión de los pasos para el segundo principio de inducción finita para: $a^n -1 = (a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+a^{n-3}+\cdots+a+1)$

Question

El problema que intento resolver es:

Utilizar el segundo principio de inducción finita $$a^n -1 = (a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+a^{n-3}+\cdots+a+1)$$ para todos $n \ge 1$

He encontrado una solución en Internet que dice: $$ \mbox{For }k=1: \ a^1-1 =a-1=(a-1)(a^0)=a-1 $$

\begin{align} k \Rightarrow k+1: \ a^{k+1} -1 &= a^{k+1}-a^k-a+a^k+a-1\\ &=a(a^k-1)+a^k-1-a(a^{k-1} -1)\\ &=(a+1)(a^k-1)-a(a^{k-1}-1) \end{align} Utilizar el segundo principio de inducción para $k,\ k-1$ : \begin{align} &=(a+1)[(a-1)(a^{k-1}+a^{k-2}+\cdots+a+1)] \\ &\qquad \; \; -a[(a-1)(a^{k-2}+a^{k-3}+\cdots+a+1)]\\ &=(a-1)[(a)(a^{k-1}+a^{k-2}+\cdots+a+1)\\ &\qquad \quad \ \, +(1)(a^{k-1}+a^{k-2}+\cdots+a+1)\\ &\qquad \quad \ \,-(a)(a^{k-2}+a^{k-3}+\cdots+a+1)]\\ &=(a-1)[(a^k+a^{k-1}+a^{k-2}+\cdots+a^2+a)+1] \end{align} $\therefore$ trabaja para $k+1$

Mi problema:

Entiendo todos los pasos utilizados para el principio de segunda inducción sin embargo no entiendo como se supone que se deduce que se necesita: $$a^{k+1} -1 = (a+1)(a^k-1)-a(a^{k-1}-1)$$ Para aclarar que entiendo la lógica que conduce a la ecuación anterior, pero no entiendo cómo se sabe que tratar de hacerlo. ¿Hay algo específico sobre el formato $ (a+1)(a^k-1)-a(a^{k-1}-1)$ que permite saber que es necesario, o se acaba de encontrar el formato por cualquier medio posible que lleve a $(a^k-1)$ y $(a^{k-1}-1)$ ¿se está utilizando?

Answer 1

Al ir a $k+1$ , uno empieza a hacer algunos "hokus pokus" algebraicos tratando por todos los medios de conseguir algunas expresiones donde usar la hipótesis inductiva, que es la luz de guía que sigue casi cualquiera que haga inducción: cómo, dónde, cuándo "meto" la hipótesis inductiva para usarla y conseguir lo que quiero.

$\mbox{-}$ DonAntonio (de los comentarios que se acaban de colocar como respuesta)

Answer 2

Sólo voy a hacer el paso de inducción aquí, para $k \to k + 1$ para demostrar que puede hacerse de forma más sencilla y transparente.

Así que suponga que ya sabe que $$a^k - 1 = a^{k-1} + a^{k-2} + \dots + a + 1.$$ Entonces, utilizando la hipótesis de inducción en la segunda línea, tenemos \begin{align} (a-1)(a^k + a^{k-1} + \dots + a + 1) &= (a-1)a^k + (a-1)(a^{k-1} + a^{k-2} + \dots + a + 1) \\ &= a^{k+1} - a^k + a^k - 1 \\ &= a^{k+1} - 1. \end{align} Esto demuestra el resultado para $k + 1$ .

Editar Por si no lo has visto, aquí tienes la prueba sin inducción. (Técnicamente, es probable que haya algún tipo de inducción oculta en algún lugar dentro de ella, pero no está formalizada). $$ \begin{align} (a-1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1) &= a(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1) - (a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)\\ &= a^n + a^{n-1} + \dots + a^2 + a - (a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1) \\ &= a^n - 1. \end{align} $$

Answer 3

Observe que $$a^{n+1}-1=(a^n-1)+(a^{n+1}-a^n)=(a^n-1)+(a-1)a^n.$$ Así que si $a^n-1=(a-1)(1+...+a^{n-1})$ entonces $$a^{n+1}-1=(a^n-1)+(a-1)a^n=$$ $$=(a-1)(1+...+a^{n-1})+(a-1)a^n=$$ $$=(a-1)([1+...+a^{n-1}]+a^n)=$$ $$=(a-1)(1+...+a^n).$$ Se trata de un método muy utilizado. Por ejemplo, para demostrar que $1+...+n=F(n)=n(n+1)/2$ para todos $n\in \mathbb N,$ tras observar que es válida cuando $n=1,$ tenemos $1+...+(n+1)=(1+...+n)+(n+1).$

Así que si $(1+...+n)=F(n)$ entonces $1+...+(n+1)=(1+...+n)+(n+1)=F(n)+(n+1)=F(n+1). $

Answer 4

Si tienes alguna inclinación por las matemáticas, sabrás que la ecuación

$a^n - 1 = 0$

puede resolverse dejando que $a = 1$ . No hace tanto tiempo que "sólo se veía" que

$x^2 - 1 = (x - 1) (x + 1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ (1)

Al dividir $x^3 - 1$ por $x -1$ te das cuenta de que estás en el camino del descubrimiento cuando consigues

$x^3 - 1 = (x -1) (x^2 + x^1 + x^0)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,$ (2)

Envalentonado por todo esto, quiere demostrar que

$x^6 - 1 = (x -1) (x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x^1 + x^0)\;\;\;\;\;$ (3)

utilizando (1) y (2):

$x^6 - 1 = (x^3 + 1) (x^3 - 1) = (x^3 + 1) (x - 1) (x^2 + x^1 + x^0) =$
$\;\;\;(x - 1) \,(x^3 + 1)\, (x^2 + x^1 + x^0)=$
$\;\;\;(x - 1)\,[ \,x^3\, (x^2 + x^1 + x^0)\,+ (x^2 + x^1 + x^0)\,]$

Ni siquiera te molestas en terminar el trabajo: "ya lo ves".

Antes de ponerse formal y utilizar inducción fuerte (también llamado segundo principio de inducción finita) tienes una sensación molesta (exponentes Impares), así que escribes

$x^7 - 1 = x (x^3 + 1) (x^3 - 1) + (x -1)$

Sorprendentemente, no hace falta que sigas. Trabajando en el lado derecho, se factoriza $x - 1$ y puede "ver" que los coeficientes son todos "+1" y que cada $x^k \;\;\; \text {for } 0 \le k \le 6$ aparece.

De repente se oyen risas. Un amigo te explica que ellos pueden ver lo mismo para el caso general ¡sin hacer ningún trabajo! Te dicen que eches un vistazo al artículo Suma telescópica . Mientras se alejan se les oye decir algo sobre una serie geométrica.

Ahora te das cuenta de que puedes averiguar todo esto utilizando la poderosa notación sigma-capital:

${\displaystyle \sum _{i{\mathop {=}}m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$

Si simplemente aceptas que puedes hacer tantas manipulaciones generales con esta notación puede simplemente prescindir de la inducción si sigue considerando necesario demostrarlo.