dos formas en un $2n\times 2n$ hoja cuadriculada, ¿podemos elegir la tercera?

Question

¿Puede alguien ayudarme con este problema? ¡¡¡Se me acaba de ocurrir!!!

tenemos un $2n\times 2n$ hoja cuadriculada y una forma conectada $L$ compuesto por $2n-1$ cuadrados de la cuadrícula. hemos cortado dos copias de $L$ de la hoja. ¿Es siempre posible cortar una tercera copia de $L$ ?

Creo que la respuesta es sí, pero no he podido resolverlo. ¿Alguna idea?

Answer 1

Preguntas y respuestas en https://math.stackexchange.com/questions/111011/two-shapes-in-a-2n-times-2n-grid-sheet-can-we-pick-third-one/111196#111196

EDIT: Tenía la esperanza de que mi respuesta para la cuadrícula de tamaño 8 se generalizaría fácilmente a cuadrados más grandes, pero hasta ahora los únicos que puedo manejar son de tamaño $6k+2$ , $k=1,2,\dots$ . La pieza es una cruz con líneas bisectrices de $4k+1$ y $2k+1$ cuadrados. Las dos cruces se colocan en la misma orientación y de tal manera que las líneas cortas de cuadrados se encuentran en un único punto, siendo ese punto el centro del cuadrado grande. Un argumento similar al dado en m.se demuestra que hay muy pocos lugares donde colocar una tercera línea de $4k+1$ cuadrados:

1. Puede ponerlo muy cerca del borde del cuadrado grande para permitir la línea de $2k+1$ o

2. Puedes ponerlo en cualquiera de los dos lugares donde va desde un borde del cuadrado grande justo después de un brazo largo de una pieza y justo antes de un brazo largo de la otra pieza. Pero esta tercera línea no puede formar parte de una tercera pieza porque su brazo corto se solaparía con un brazo largo de una de las dos primeras piezas.

[Añadido por J.O'Rourke:]