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Deformaciones del plano afín puntuado

Sea kk sea un campo algebraicamente cerrado y de característica 0 si lo desea.

Sea U=A2k{(0,0)} sea el plano afín puntuado sobre k . Escriba a U como la unión de U1=Speck[x±1,y] y U2=Speck[x,y±1] . Entonces las deformaciones U de U a k[t]/t2 se dan de la siguiente manera:

Tenemos U=U1U2 donde U1=Spec(k[t]/t2)[x±1,y] y U2=Spec(k[t]/t2)[x,y±1] y se pegan a lo largo de un isomorfismo de Spec(k[t]/t2)[x±1,y±1] con Spec(k[t]/t2)[x±1,y±1] que puede introducirse de manera única en la forma x=x+t(i,j>0aijxiyj) , y=y+t(i,j>0bijxiyj) , donde ambas sumas son finitas. En particular, el caso más sencillo viene dado por un isomorfismo de la forma x=x+atx1y1 , y=y+btx1y1 , donde a,bk son parámetros.

Además, la deformación U no tiene obstáculos, por lo que existe un levantamiento formal de U a un régimen formal U en Spfk[[t]] . Mi pregunta es si existen deformaciones algebraicas para Speck[[t]] . En otras palabras:

Pregunta: ¿Existe un esquema separado plano X de tipo finito sobre Speck[[t]] junto con un subesquema abierto UXk[[t]]k[t]/t2 tal que U es una deformación no trivial de U ?

Obsérvese que hasta ahora no he podido construir ni un solo ejemplo de este tipo, pero tampoco he podido descubrir un obstáculo.

Un intento podría ser encontrar un esquema afín X . Esto se reduce esencialmente a elegir un subring Rk[x,y] que contiene una potencia del ideal (x,y) y deformando R a k[[t]] . Se puede comprobar que para cualquier deformación U a k[t]/t2 se puede encontrar un anillo de este tipo R que se eleva a k[t]/t2 y da lugar a la deformación U (al eliminar el origen). Sin embargo, normalmente R se obstruirá, y no está nada claro que se pueda seguir encontrando un ascensor de esta R a k[[t]] .

[Pregunta editada para tener en cuenta el comentario de Angelo. Perdón por una estúpida segunda pregunta].

12voto

Ames Puntos 29

Creo que puedo demostrar lo siguiente

Teorema: Sea R ser un k -de tipo finito con un punto cerrado xSpecR tal que SpecR{x}A2k{(0,0)} . Sea ˜R ser un t -elevación plana radicalmente completa de R a k[[t]] . Entonces Spf˜R{x}A2Spfk[[t]]{(0,0)} .

Como se menciona en la pregunta, existen deformaciones no triviales para k[[t]]/tn para cualquier n Por eso, este resultado me parece sorprendente: Elevación a k[[t]] plantea una fuerte rigidez de la que antes no era consciente.

En particular, no hay ejemplos a la pregunta anterior con X afín. La prueba que sigue también muestra que la aplicación que yo pretendía de las deformaciones algebraicas del plano afín puntuado no puede funcionar, por lo que considero que mi pregunta ha sido contestada negativamente (aunque estrictamente hablando la pregunta planteada sigue abierta).

Permítanme empezar con algo aparentemente no relacionado.

Proposición: Sea K sea un campo cualquiera, y X/K sea una superficie lisa, y sea CP1X sea una curva racional suave en X con auto-intersección C2=1 . Entonces existe un subconjunto abierto UX que contiene C y una incrustación abierta UP2 (llevando C en una línea).

Deduje esto (espero que correctamente) de la clasificación de superficies (mostrando primero que X tiene que ser racional); probablemente exista un argumento más directo.

Consideremos ahora Y=P2k{(0:0:1)} con su línea CY en el infinito. Sea R y ˜R sea como el anterior. Pegamento Y con SpecR a lo largo de A2k{(0,0)} a ˉY en k esto es proyectivo, con C un divisor amplio. Como H2(P2k,TP2k(C))=0 se comprueba que cualquier deformación de R puede extenderse a una deformación de ˉY que también levanta C . En particular, ˜R puede extenderse a un esquema formal plano adecuado ˜ˉY con ascensor ˜C de C más de Spfk[[t]] . Por GAGA formal, esto es algebraizable, a una superficie proyectiva Z en Speck[[t]] et DP1Z . El lugar liso de la fibra genérica de Z junto con la fibra genérica de D satisface los supuestos de la Proposición. De ello se deduce que existe un mapa birracional desde el lugar liso de la fibra genérica de Z a P2k((t)) . No puede contraer nada: si una curva E se contrajo, entonces esta curva se encontraría con la fibra genérica de D (como D es amplia), pero en una vecindad de D el mapa está bien definido. Además, no puede tener puntos críticos, ya que el objetivo P2k((t)) no contiene curvas excepcionales. De ello se deduce que el lugar liso de la fibra genérica de Z está abierto en P2k((t)) . Como su imagen contiene una curva amplia, se deduce que la codimensión de la imagen es al menos 2 .

Consideremos ahora el mapa de reducción H0(Zsm,O(nD))H0(Y,O(nC)) donde ZsmZ denota el lugar liso; induce una inyección H0(Zsm,O(nD))/tH0(Y,O(nC)) . Ambos tienen la misma dimensión que H0(P2,O(n)) . De ello se deduce que el mapa tiene que ser suryectivo. De ello se deduce que ProjH0(Zsm,O(nD)) es una deformación plana de P2k por lo que es isomorfo a P2k[[t]] . Obtenemos una incrustación abierta ZsmP2k[[t]] que se restringe a un isomorfismo Spf˜R{x}A2Spfk[[t]]{(0,0)} según se desee.

Adenda: Para completar, deduzco la Proposición (en caso de que K es algebraicamente cerrada -- uno puede entonces eliminar esta hipótesis) del artículo "Curves with high self-intersection on algebraic surfaces" de Hartshorne (usaré libremente la notación de allí). Podemos suponer que X es correcto. Primero, X es racional: Fijar un punto xC . Porque C es muy libre, hay un 1 -de curvas racionales que contienen x . Como estas curvas se cruzan con multiplicidad 1 dos de ellas no pueden tener el mismo vector tangente en x . Se deduce que esta familia está definida sobre una base racional, por tanto X es (uni-, y por tanto) racional. Ahora utilizamos el teorema 3.5 del artículo de Hartshorne. El caso a) significa que CX es equivalente a una sección de una superficie racional de Hirzebruch FeP1 . La condición C2=1 garantizará que e=1 y que la curva C no cumple el lugar excepcional de F1P2 dando el resultado. El caso b) no puede darse. El caso c) podría causar problemas. Si nos fijamos en la prueba, sólo el caso m=2 puede ocurrir. Observando cómo el caso m=2 en la Proposición 3.2, vemos que debemos tener e+n=1 . El caso e=0 , n=1 es imposible debido a la condición b) de la Proposición 3.1, y el otro caso e=1 , n=0 es imposible debido a la condición e) de la Proposición 3.1.

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