He publicado esta pregunta en Math.SE ( enlace ), pero no obtuvo ninguna respuesta, así que voy a preguntar aquí. Esta es una versión editada de la pregunta.
Sea $p$ sea un primo y $n \geq 1$ algún número entero. Además, sea $G$ sea un grupo finito donde $p$ -Los subgrupos Sylow tienen orden $p^n$ . Denotemos por $n_p(G)$ el número de Sylow $p$ -subgrupos de $G$ . Denotemos el número de elementos en la unión de todos los Sylow $p$ -subgrupos de $G$ por $f_p(G)$ . Estoy interesado en encontrar límites inferiores para $f_p(G)$ que no dependen del grupo $G$ pero sólo en $p$ , $n$ y $n_p(G)$ .
Por el teorema de Sylow, sabemos que $n_p(G) = kp + 1$ para algún número entero $k \geq 0$ . Lo que sé hasta ahora:
- Si $k = 0$ entonces $f_p(G) = p^n$ .
- Si $k = 1$ entonces $f_p(G) = p^{n+1}$ .
- Si $k \geq 2$ entonces $f_p(G) \geq 2p^{n+1} - p^n$ .
Se trata de un teorema debido a G. A. Miller, véase también esta pregunta de Math.SE. Para demostrar la desigualdad en el caso $k \geq 2$ Primero prueba que $f_p(G) > p^{n+1}$ . Entonces observe que $f_p(G) - 1$ es divisible por $p-1$ entonces la desigualdad se deduce del teorema de Frobenius (*). Los detalles se encuentran en un libro de Miller, Blichfeldt y Dickson (Theory and Applications of Finite Groups) y en un artículo de Miller ("Some deductions from Frobenius Theorem").
Mi pregunta principal es la siguiente:
¿Cuál es la mejor cota inferior para el caso $k > 2$ ?
El caso $n = 1$ es fácil, porque entonces conocemos el valor de $f_p(G)$ precisamente. Si $n = 1$ entonces $f_p(G) = n_p(G)(p-1)+1$ . ¿Y cuando $n > 1$ ? Respuestas relativas a $n$ o particular $k$ también son bienvenidos.
Si el Sylow $p$ -son cíclicos, entonces tenemos que $f_p(G) \geq n_p(G)\varphi(p^n) + p^{n-1}$ y este atado está bien. Pero la mayoría $p$ -los grupos no son cíclicos..
Creo que el siguiente ejemplo lo demuestra $f_p(G)$ obtiene valores arbitrariamente grandes para $p$ y $n$ (nada sorprendente). Por el teorema de Dirichlet, existen primos arbitrariamente grandes $q$ tal que $q \equiv 1 \mod{p}$ . Entonces en un producto directo $G = C_{p^{n-1}} \times H$ donde $H$ es un grupo no abeliano de orden $pq$ los subgrupos Sylow de $G$ tienen $C_{p^{n-1}}$ como su intersección común. Hay exactamente $q$ Sylow $p$ -subgrupos, porque de lo contrario $G$ sería nilpotente pero su subgrupo $H$ no lo es. Por lo tanto, el número de elementos del $p$ -Sylow subgrupos es $f_p(G) = q(p^{n} - p^{n-1}) + p^{n-1}$ y esto va hasta el infinito como $q$ llega hasta el infinito. Por lo tanto, existen grupos $G$ con Sylow $p$ -subgrupos de orden $p^n$ tal que $f_p(G)$ es arbitrariamente grande.
También, $f_p(G) \rightarrow \infty$ como $k \rightarrow \infty$ . Esto se ve al observar que $f_p(G)^{p^n} \geq n_p(G)$ Así que
$$f_p(G) \geq (kp + 1)^{p^{-n}}$$
que va al infinito como $k \rightarrow \infty$ .
Una observación más: no todos los números enteros $\equiv 1 \mod{p}$ son las cantidades posibles de Sylow $p$ -subgrupos. Por ejemplo, no existe un grupo con exactamente $22$ Sylow $3$ -subgrupos, aunque $22 \equiv 1 \mod{3}$ . No sé si esto complica las cosas.
(*) El Teorema de Frobenius dice que cuando $G$ es un grupo finito de orden divisible por $s$ el número de soluciones de $x^s = 1$ en $G$ es múltiplo de $s$ . Sabemos que $f_p(G)$ es el número de soluciones de $x^{p^n} = 1$ en $G$ .
