Racionalizando el denominador de $\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$

Question

S $$\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$$

Creo que esto debería expresarse sin raíces cuadradas en el denominador. He intentado multiplicar por conjugado.

Answer 1

Usé conjugados dos veces, obtuve $$ \sqrt 2 \cdot \sqrt{2 + \sqrt 2} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt 2}} $$ Quizá se puedan multiplicar para hacer algo bonito. No lo sé. Nótese que no se da ninguna información sobre la fuente de la pregunta.

Answer 2

Entonces, multiplicas por el denominador sobre el denominador para deshacerte de la primera raíz cuadrada (mientras sigues técnicamente multiplicando sólo por 1): $$ \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} \times \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} = \frac{2\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} $$ Ahora tienes una expresión que se puede multiplicar por un conjugado, así que eso es lo que hacemos: $$ \frac{2\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\times\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}=\frac{\left(2\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\right)\left(2-\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)}{(2-\sqrt{2})} $$ También se puede multiplicar por su conjugado: $$ \frac{\left(2\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\right)\left(2-\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)}{(2-\sqrt{2})}=\frac{\left(2\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\right)\left(2-\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)\left(2+\sqrt2\right)}{2} $$ Por fin tenemos una expresión con denominador racionalizado. Yo dejaría el numerador sin simplificar, ya que es un poco difícil de hacer y sé que definitivamente cometería un error (Si tu profesor/profesora quiere que multipliques el numerador están locos;)).

Answer 3

$$ \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}=\\\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}=\\\frac{2 \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=\\ \frac{2\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \cdot \frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}=\\\frac{2\cdot(2-\sqrt{2+\sqrt{2}})\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2-\sqrt{2}}=\\ \frac{2\cdot(2-\sqrt{2+\sqrt{2}})\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2-\sqrt{2}} \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\\\frac{2\cdot(2-\sqrt{2+\sqrt{2}})\cdot (2+\sqrt{2})\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}=\\ (2+\sqrt{2}) \cdot (2-\sqrt{2+\sqrt{2}}) \cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} $$