Operador acotado no compacto $A$ en el espacio de Hilbert tal que $\|Ae_n\|\to 0$ para un sistema ortonormal

Question

La matriz de Hilbert $H=\{(i+j-1)^{-1}\}_{i,j=1}^\infty $ es un ejemplo de operador acotado no compacto tal que $\|He_n\|_2\to 0, $ donde $\{e_n\}_{n=1}^\infty$ es la base ortonormal estándar en $\ell^2(\mathbb{N}).$ Según los teoremas de Widom ( Tm 3.1 y Tm 3.2 ) una matriz Hankel definida positiva $\{m_{i+j-1}\}_{i,j=1}^\infty $ da lugar a un operador acotado si y sólo si $m_n=O(n^{-1}).$ Además, el operador correspondiente es compacto si y sólo si $m_n=o(n^{-1}).$ Estos resultados son bastante avanzados.

Estoy buscando un ejemplo elemental de un operador acotado no compacto $A$ en $\ell^2(\mathbb{N})$ tal que $\|Ae_n\|_2\to 0.$ En $\|Av\|_2=\||A|v\|_2$ para $v\in \ell^2(\mathbb{N}),$ el problema puede reducirse a matrices definidas positivas. No es necesario que la matriz correspondiente sea una matriz de Hankel.

Answer 1

Para cada $n$ deje $T_n$ sea el $n\times n$ matriz cuyas entradas son todas $\frac{1}{n}$ . Se trata de un rango $1$ proyección. Así que $T = \bigoplus T_n$ es una proyección con un rango dimensional infinito y, por tanto, no es compacta.

Si $k$ es cualquier número entero positivo, entonces existe un $n$ que va a $\infty$ como $k\to\infty$ tal que $$ \|T(e_k)\|^2=\sum_{i=1}^n1/n^2=1/n. $$ Así que $\|T(e_k)\|\to0$ .

PD: Aprendí este ejemplo de Nick Weaver en una pregunta diferente, aunque relacionada: https://mathoverflow.net/questions/264985/if-the-diagonal-of-a-positive-operator-is-compact-is-the-operator-itself-compac

Answer 2

Sea $H_0$ y $H_1$ sean dos espacios de Hilbert separables de dimensión infinita y $H=H_0\oplus H_1$ . Sea $A:H\to H$ sea la proyección sobre $H_1$ . Basta con encontrar una base ortonormal $(e_n)$ para $H$ tal que $\|Ae_n\|\to 0$ .

Construimos esta base ortonormal $(e_n)$ un vector cada vez. Una vez elegidos $e_0,\dots,e_{n-1}$ , dejemos que $K$ sea el complemento ortogonal de su tramo. Dado un vector $v\in K$ de norma como máximo $1$ , dejemos que $v=v_0+v_1$ con $v_0\in H_0$ y $v_1\in H_1$ . Para algunos $\epsilon$ tal que $0\leq\epsilon\leq\|v_1\|$ , dejemos que $w_1$ sea $v_1$ reescalada para tener norma $\epsilon$ . Elija algunos $w_0\in H_0\cap K$ de norma $\sqrt{1-\epsilon^2}$ que es ortogonal a $v_0$ . Sea $w=w_0+w_1$ . Tenga en cuenta que $w$ es un vector unitario en $K$ que es ortogonal a $v_0$ , $\|Aw\|=\epsilon$ y $\langle w,v\rangle=\epsilon\|v_1\|$ .

Obsérvese ahora que si añadimos $v_0/\|v_0\|$ y $w$ y a nuestra base ortonormal, nos aseguramos de que la proyección de $v$ en el tramo de nuestra base ortonormal tiene norma al cuadrado al menos $\|v_0\|^2+\epsilon\|v_1\|$ . Haciendo esto repetidamente para elementos elegidos adecuadamente $v$ podemos garantizar que el ámbito cerrado de nuestra base ortonormal contiene todos los elementos de $H$ . A saber, fijar una base ortonormal $(f_m)$ para $H$ y en cada paso elegir $v$ sea la proyección de algún $f_m$ en $K$ . Si dispone que cada $f_m$ se elige con suficiente frecuencia, se puede asegurar que la norma de la proyección de cada $f_m$ en el tramo de $(e_n)$ se acerca arbitrariamente a $1$ . Incluso puede hacerlo teniendo el valor elegido de $\epsilon$ en cada paso convergen a $0$ que hará que $\|Ae_n\|\to 0$ . Entonces $(e_n)$ será una base ortonormal para todo $H$ tal que $\|Ae_n\|\to 0$ .