El conjunto raíz de un álgebra compleja simple de Lie es cerrado bajo negación

Question

Sea $(\mathfrak{g},[,])$ sea un Álgebra de Lie compleja simple de dimensión finita. Supongamos que $\mathfrak{g}$ admite una subálgebra de Cartan $\mathfrak{h}$ que (para mí) es una Lie-subálgebra abeliana, autocentrada y ad-semisimple. Sea $R$ denotan el conjunto de raíces del par $(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ (Es decir, el conjunto de todos los $\alpha \in \mathfrak{h}^{\ast}$ para el que el espacio $\mathfrak{g}^{\alpha}= \{X \in \mathfrak{g}\, |\, \forall H \in H\,: [H,X] = \alpha(H)X\}$ es distinto de cero). Los supuestos implican que $\mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \bigoplus_{\alpha \in R}{\mathfrak{g}^{\alpha}}$ .

Supongamos además que existe una forma bilineal simétrica no degenerada $(,)$ en $\mathfrak{g}$ que satisface $([H,X],Y) + (X,[H,Y]) = 0$ para todos $X,Y,H \in \mathfrak{g}$ .

Según mis notas, estas condiciones deberían bastar para demostrar que $\alpha \in R$ sólo si $- \alpha \in R$ . No entiendo por qué es así. Sé que para todos $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathfrak{h}^{\ast}$ tenemos $(\mathfrak{g}^{\lambda_1},\mathfrak{g}^{\lambda_2}) = 0$ si $\lambda_1 + \lambda_2 \neq 0$ pero esto no parece ayudar, ¿o sí?

Answer 1

Pista: Demuestre, con la relación de su segundo párrafo, que $(\mathfrak{g}^\alpha, \mathfrak{h}) = 0$ para todas las raíces $\alpha$ .

¿Por qué ayudaría eso? Tienes que demostrar que $\mathfrak{g}^\alpha \neq 0$ si $\mathfrak{g}^{-\alpha} \neq 0$ ¿verdad? Supongamos $\mathfrak{g}^\alpha \neq 0$ .

Dice que ya tiene $(\mathfrak{g}^{\alpha}, \mathfrak{g}^\lambda) = 0$ para todos $\lambda \neq - \alpha$ .

También tienes la descomposición $\mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \bigoplus_{\lambda \in R} \mathfrak{g}^\lambda$ .

Y tienes que tu forma bilineal es no degenerada.

Ahora bien, una vez que haya $(\mathfrak{g}^\alpha, \mathfrak{h}) = 0$ ¿Qué implicaría todo eso sobre $(\mathfrak{g}^\alpha, \mathfrak{g}^{-\alpha})$ ?