Sea $G$ denotan el $\operatorname{Spin}(n)$ grupo con $n>4$ y que $\Gamma$ sea un subgrupo cíclico $G$ de orden primo $p >2$ . ¿Cuándo se realiza la proyección $G \to G/\Gamma$ inducen una suryección entre grupos cohomológicos $H^3$ con coeficientes integrales?
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He aquí otro enfoque que utiliza la secuencia espectral de Leray-Serre. Utilizando el hecho de que $\Gamma$ actúa libremente sobre $G$ el mapa $G \to G/\Gamma$ es un espacio de cobertura, por lo que la cohomología de $G/\Gamma$ puede calcularse mediante la secuencia espectral
$$E_2^{s, t} = H^s(\Gamma, H^t(G)) \implies H^{s+t}(G/\Gamma).$$
Aquí $H^s(\Gamma, M)$ es la cohomología del grupo s'th de $\Gamma$ con coeficientes en el $\Gamma$ -representación $M$ . Registramos tres hechos para empezar:
- Si $\Gamma \cong \mathbb{Z} / p$ entonces $H^s(\Gamma, \mathbb{Z})$ es 0 para $s$ impar, y $\mathbb{Z} / p$ para $s$ incluso.
- Para $G=Spin(n)$ , $H^t(G) = \mathbb{Z}, 0, 0, \mathbb{Z}$ para $t=0,1,2,3$ .
- Para $p$ impar, $\mathbb{Z} / p$ no puede actuar de forma no trivial sobre $\mathbb{Z}$ ya que $Aut(\mathbb{Z}) = \mathbb{Z} / 2$ .
Calculemos parte del $E_2$ -de la secuencia espectral. El hecho 2 implica que el $t=1$ y $2$ filas desaparecen por completo. El hecho 3 implica que $H^0(G) = \mathbb{Z}$ y $H^3(G) = \mathbb{Z}$ son triviales $\Gamma$ -por lo que el $t=0$ y $3$ filas son la cohomología de grupo descrita en el Hecho 1.
Por lo tanto, el único término posible que puede contribuir a $H^3(G/\Gamma)$ es $E_2^{0, 3} = H^3(G) = \mathbb{Z}$ . Sin embargo, existe la posibilidad de un único diferencial en esta región de la secuencia espectral, a saber
$$d_4: E_2^{0, 3} = \mathbb{Z} \longrightarrow E_2^{4, 0} = H^4(\Gamma, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z} / p.$$
Por lo tanto, $H^3(G/\Gamma)$ se proyecta sobre $H^3(G)$ precisamente cuando este diferencial $d_4= 0$ . Observamos que si no es 0, es suryectiva; por tanto, en el peor de los casos $H^3(G/\Gamma)$ puede identificarse con un índice $p$ subgrupo de $H^3(G)$ .
Entonces, ¿cómo calculamos $d_4$ ? Afirmo que se da como:
$$H^3(G) \cong H^4(BG) \to H^4(B\Gamma) = H^4(\Gamma)$$
donde el mapa es la restricción en cohomología, inducida por el homomorfismo (de inclusión) $\Gamma \subseteq G$ . Esto puede verse, por ejemplo, comparando esto con la secuencia espectral para la fibración (bastante tonta) $G \to G/G=pt$ .
Así que una respuesta larga a su pregunta es: El mapa es suryectivo si y sólo si ninguno de los $H^4(BG) = \mathbb{Z}$ es compatible con $H^4(\Gamma) = \mathbb{Z} /p$ . Me imagino que determinar cuándo es el caso depende en gran medida del subgrupo en cuestión.
He aquí una solución para $G$ un grupo de Lie compacto, simple, conexo, simplemente conexo y $\Gamma$ un subgrupo del centro de $G$ .
El grupo $H^3(G,Z)$ clasifica $U(1)$ -gerbes over $G$ . Un gerbe $\mathcal{G}$ está en la imagen del mapa pullback $$H^3(G/\Gamma,Z) \to H^3(G,Z)$$ si y sólo si admite un $\Gamma$ -equivariante estructura. De hecho, en este caso se puede formar el gerbo cociente $\mathcal{G}'$ en $G/\Gamma$ y el pullback de $\mathcal{G}'$ es isomorfo a $\mathcal{G}$ .
El punto crucial es que el gerbo básico $\mathcal{G}^1$ es decir, el que representa un generador de $H^3(G,Z)=Z$ goza de una construcción teórica de Lie explícita en el marco de haz de gerbos . La existencia de $\Gamma$ -Las estructuras equivariantes pueden comprobarse mediante la inspección de una determinada clase de obstrucción.
Esta clase de obstrucción se ha calculado explícitamente para todas las posibles central subgrupos. Por ejemplo, la obstrucción para el gerbo $\mathcal{G}^k$ en $SU(n)$ (que representa $k \in H^3(SU(n),Z)$ ) desaparece si $k$ es par, o $|\Gamma|$ es impar, o $\frac{n}{|\Gamma|}$ es par. Así se me ocurrió el comentario a la pregunta.
Todas las construcciones y cálculos están dentro: K. Gawedzki y N. Reis "Basic gerbe over non simply connected compact groups" J. Geom. Phys., 2003, 50, 28-55. En la tabla 5.1 de la página 143 de mi libro tesis doctoral ( Wayback Machine ).
EDIT: Para grupos no centrales se puede seguir utilizando el gerbo básico $\mathcal{G^1}$ pero no sé si las clases de obstrucción siguen siendo accesibles para los cálculos.
