Caracterización del homomorfismo de anillos inyectivos de $\mathbb{Z}_m$ a $\mathbb{Z}_n$

Question

Demuestre que existe un homomorfismo inyectivo de anillo $f:\mathbb{Z}_m \rightarrow \mathbb{Z}_n$ sólo si $m\mid n$ y $\frac{n}{m}$ es relativamente primo con $m$ .

En una dirección, no fue difícil comprobar que $m$ divide $n$ porque $n\cdot f(\overline{1})= f(n\cdot \overline{1})=f(\overline{n})$ pero $n\cdot f(\overline{1})$ es múltiplo de $n$ en $\mathbb{Z}_n$ Por lo tanto $f(\overline{n})=0$ y porque $f$ es homomorfismo, $f(\overline{0})=0$ entonces $f(\overline{n})=f(\overline{0})$ y esto implica (porque $f$ es una inyección) que $\overline{n}=\overline{0}$ es decir $n$ es múltiplo de $m$ . Sin embargo, no sé cómo concluir que $\frac{n}{m}$ es relativamente primo con $m$ .

Por otro lado, para demostrar que existe un homomorfismo inyectivo de anillo $f:\mathbb{Z}_m \rightarrow \mathbb{Z}_n$ no sé dónde usar los hechos $m\mid n$ y $\frac{n}{m}$ es relativamente primo con $m$ para llegar a la conclusión.

Answer 1

Supongamos que existe un homomorfismo inyectivo de anillo $f:\mathbb{Z}_m\rightarrow\mathbb{Z}_n$ , dejemos que $\overline{k}=f(\overline{1})$ . Entonces es fácil ver que $\forall x\in\mathbb{Z}:(f(\overline{x})=\overline{0}\Leftrightarrow n\mid xk)$ y $\forall x\in\mathbb{Z}:(\overline{x}=\overline{0}\Leftrightarrow m\mid x)$ Así que $\forall x\in\mathbb{Z}:(n\mid xk\Leftrightarrow m\mid x)$ . Entonces, porque $n\mid nk$ entonces $m\mid n$ por lo que $n=md$ . Además, como $m\mid m$ entonces $n\mid mk$ Así que $d\mid k$ . Además, es fácil ver que $\overline{k^2}=\overline{k}$ (aplicar $f$ a $\overline{1}\cdot\overline{1}=\overline{1}$ ), por lo que $n\mid (k-1)k$ Así que $m\mid k-1$ . Por lo tanto, porque $d\mid k$ y $m\mid k-1$ concluimos que $d$ es relativamente primo con $m$ .

Por otra parte, si $n=md$ y $d$ es relativamente primo con $m$ entonces hay $m',d'\in\mathbb{Z}$ tal que $mm'+dd'=1$ por lo que $k=dd'$ entonces $d\mid k$ y $m\mid k-1$ Así que $n\mid k(k-1)$ y $\forall x\in\mathbb{Z}:(n\mid xk\Leftrightarrow m\mid x)$ . Entonces es fácil ver que la única función aditiva $f:\mathbb{Z}_m\rightarrow\mathbb{Z}_n$ tal que $f(\overline{1})=\overline{k}$ es de hecho un homomorfismo de anillo inyectivo.