Igual que Chris dijo en su comentario, supongamos tenemos un almacén de Lipschitz de dominio $\Omega\subset \mathbb{R}^d$, $C^{\infty}_0(\Omega)$ no aproximado de un arbitrario $W^{k,p}(\Omega)$-función, a menos que se establece el límite de valor a 0.
Un posible argumento podría ser construido a partir de la traza del teorema. A grandes rasgos, denotan $H^1(\Omega) := W^{1,2}(\Omega)$, vamos
$$
T: H^1(\Omega) \longrightarrow H^{1/2}(\partial \Omega)
$$
ser la huella del operador. Supongamos que disponemos de una $u\in H^{1}(\Omega)$, que tiene un no-cero de seguimiento, que nos lleva a la traza de la desigualdad
$$
\|Tu \|_{H^{1/2}(\partial \Omega)} \leq c\| u \|_{H^1(\Omega)}
$$
Ahora supongamos que tenemos una secuencia $\{u_n\}\subset C^{\infty}_0(\Omega) \subset H^1(\Omega)$, de tal manera que $u_n\to u$ $H^1(\Omega)$- norma, a continuación, utilizar la traza de la desigualdad vamos a ver la contradicción en la que cero es mayor que o igual a un número positivo.
Si no se satisfacen con la existencia de la "no-cero de seguimiento", podríamos evitar esto utilizando el surjectivity de la traza del operador, definir su derecho inversa como
$$
\mathscr{I}: H^{1/2}(\partial \Omega)\longrightarrow H^1(\Omega)
$$
servir como una extensión de cualquier función definida en el límite hacia el interior, y $T(\mathscr{I}g) = g$ cualquier $g\in H^{1/2}(\partial \Omega)$, prescribir $g\in H^{1/2}(\partial \Omega)$, decir $g = 1$$\partial \Omega$, vamos a $u = \mathscr{I}g$.
Contra-ejemplo en $\Omega = (0,1)$:
Deje $u = 1\in H^1(\Omega) = W^{1,2}(\Omega)$, supongamos que tenemos una secuencia $\{u_n\} \subset C^{\infty}_0(\Omega)$ tal que
$$
\| u - u_n\|^2_{H^1(\Omega)} = \| u - u_n\|^2_{L^2(\Omega)} +
\| u'_n\|^2_{L^2(\Omega)} \longrightarrow 0
$$
así que para cualquier $\epsilon>0$ podríamos encontrar $N>0$ todos los $n>N$:
$$
\| u - u_n\|_{L^2(\Omega)} < \epsilon, \text{ y }\; \|u'_n\|_{L^2(\Omega)} < \epsilon
$$
Por el triángulo de la desigualdad:
$$
\left|\| u\|_{L^2(\Omega)} - \| u_n\|_{L^2(\Omega)}\right| \leq \| u - u_n\|_{L^2(\Omega)} < \epsilon
$$
debido a $\| u\|_{L^2(\Omega)} = 1$, por encima implica
$$
1-\epsilon < \| u_n\|_{L^2(\Omega)} < 1+\epsilon
$$
Ahora nos gustaría argumentar como la prueba de la desigualdad de Poincaré para llegar a la contradicción, para 1 dimensional caso es muy sencillo, para cualquier $x\in \Omega$ tenemos:
$$
|u_n(x) - u_n(0)| = \left| \int^x_0 u'_n(t)\,dt\right| \leq
\left| \int^1_0 u'_n(t)^2\,dt\right|^{\frac{1}{2}} \;
\left| \int^1_0 1^2\,dt\right|^{\frac{1}{2}} = \|u'_n\|_{L^2(\Omega)}
$$
Esto implica $\displaystyle\sup_{x\in\Omega}|u_n(x)| \leq \|u'_n\|_{L^2(\Omega)}$, por lo tanto la combinación de todo lo que tenemos nos llevaría a la siguiente:
$$
1-\epsilon < \| u_n\|_{L^2(\Omega)} \leq
\left| \int^1_0 \sup_{t\en\Omega}|u_n(t)|^2\,dt\right|^{\frac{1}{2}} = \sup_{x\in\Omega}|u_n(x)| \leq \|u'_n\|_{L^2(\Omega)} < \epsilon
$$
que es una contradicción, por tanto, secuencia $\{u_n\} \subset C^{\infty}_0(\Omega)$ no existe.
Una última observación: ¿por Qué la densidad argumento de $C^{\infty}_0(\Omega)$ es cierto para el todo el espacio es debido a la descomposición de la propiedad, tanto de la propia función y la derivada de la $W^{k,p}$-funciones, para que algo sea $L^p$integrable en todo el espacio, su integración debe ser pequeño fuera una bola de cierto tamaño, sin embargo, para delimitada de dominio, el deterioro de los bienes no retiene más a menos que se agregue el compacto-compatible condición.
