Respuesta corta
No se necesitan todos los axiomas de una métrica (véase más adelante). Sin embargo, no se me ocurre ningún ejemplo publicado en el que se utilice una distancia que no esté estrechamente basada en una métrica.
Resumen de métricas
Los axiomas de una métrica son:
- $d(y,y') \geq 0$ (no negatividad)
- $d(y,y') = 0$ si $y=y'$ (identificabilidad)
- $d(y,y') = d(y',y)$ (simetría)
- $d(y,y') \leq d(y,z) + d(z,y')$ (desigualdad triangular)
ABC recapitula
Bases ABC aceptación de pares simulados (parámetros, datos) $(\theta, y)$ sobre la distancia $d(y,y_0)$ donde $y_0$ son los datos observados. Es más probable que se acepten valores de distancia pequeños. Esta respuesta se centra en el esquema simple que acepta si $d$ está por debajo de un umbral $\epsilon$ .
Necesidad de los axiomas en ABC
- No negatividad. Este axioma se asume en todas las implementaciones de ABC que he visto.
- Identificabilidad. ABC produce $\theta$ muestras de la posterior exacta si la aceptación sólo se produce para $y=y_0$ . Si hay varias soluciones para $d(y,y_0)=0$ esta norma de aceptación no puede alcanzarse, lo que parece una deficiencia importante. En concreto, un límite de reglas de aceptación cada vez más estrictas no produciría objetivos de muestreo que convergieran en el verdadero resultado posterior. Así que la identificabilidad parece esencial.
- Simetría. Esto claramente no es esencial, ya que ABC sólo utiliza $d(y,y_0)$ . Podríamos fácilmente tomar $d(y_0,y) \neq d(y,y_0)$ sin afectar al algoritmo.
- Desigualdad triangular. Esto tampoco es necesario. Supongamos, por ejemplo $y \in \mathbb{R}$ y $d_1(y,y')=|y-y'|$ (una métrica). Entonces $d_2(y,y')=(y-y')^2$ rompe la desigualdad del triángulo (por ejemplo, considere $y=0, z=1, y'=2$ ) pero produce las mismas regiones de aceptación ABC que $d_1$ para umbrales de aceptación elegidos adecuadamente.
Algunas condiciones suficientes para las distancias ABC
En el apéndice de un preprint Defiendo algunas condiciones sobre las funciones de distancia ABC que son suficientes para que la distribución objetivo ABC converja a la posterior. Sin embargo, ¡probablemente se podrían alcanzar otras condiciones con argumentos diferentes! (Mi argumento es un subproducto de cierta teoría que necesitaba para los algoritmos ABC-SMC).
El argumento se basa en la aceptación regiones $A_t=\{ y | d(y,y_0) \leq \epsilon_t \}$ para cualquier secuencia $\epsilon_1 > \epsilon_2 > \ldots$ convergiendo a cero. Las condiciones son (omitiendo algunos tecnicismos):
- La medida de Lebesgue $|A_t|$ converge a 0 a medida que $t \to \infty$ .
- Los decorados $A_t$ tienen excentricidad limitada . Esencialmente bajo proyección a cualquier espacio de dimensión inferior, la medida de Lebesgue de $A_t$ sigue convergiendo a cero.
La condición 1 garantiza que la región de aceptación se reduzca a una región muy pequeña alrededor de las observaciones. La condición 2 evita una región de aceptación límite en la que algunos componentes de $y$ coinciden con las de $y_0$ .
