Definición de superficie

Question

Busco una definición de área atractiva pero rigurosa; digamos en el plano euclidiano. Probablemente no hay una definición corta. Está bien hacerla aún más larga, pero ¿puede construirse a partir de partes útiles de una manera no aburrida? Digamos, ¿de manera que no todos los estudiantes se duerman durante la clase?

Observaciones.

• El verdadero problema es demostrar la existencia, la unicidad es fácil.

• Utilizar la integral no parece una buena idea.

• Existe un enfoque en el que se escribe la fórmula del área y luego se demuestran sus propiedades. No me gusta, ya que te lleva a la geometría discreta, que es completamente irrelevante y las ideas utilizadas casi inútiles en cualquier otro lugar (así que no hay razón para aprender estas cosas). [Ver por ejemplo "Geometry: A Metric Approach with Models" de Millman y Parker].

• El método con cuadrícula de medición (cortar todo en cuadraditos y contar) queda mucho mejor. Se puede considerar este método como una introducción a la integral. Sólo hay una afirmación técnica que hay que demostrar: si giras un cuadrado, su área no cambia. El único problema es que no es generalizable a decir plano absoluto o esfera...

• Se puede definir el área como un límite de $\varepsilon^2\cdot N_\varepsilon$ donde $N_\varepsilon$ denota el número máximo de puntos de la figura a una distancia $>\varepsilon$ entre sí. La única parte difícil es demostrar la existencia del límite $\varepsilon^2\cdot N_\varepsilon$ por ejemplo, polígonos. (Puede cambiar el límite a ultralimit --- de esta manera todo funciona sin problemas, pero no quiero vender mi alma sólo para obtener un def de área...)

Answer 1

Existe una aproximación intuitiva al área, basada en el hecho de que los polígonos $P, P'$ tienen la misma área si y sólo si son equidecomponibles (es decir, una puede cortarse en trozos y volver a ensamblarse para formar la otra).

Las tres primeras páginas de esta nota esbozar un enfoque "motivacional" de la definición de área, para los polígonos. A saber, se define $K(\text{Poly})$ el grupo abeliano libre generado por los polígonos planos $P$ sujeto a las dos relaciones siguientes:

1. $[P]=[P']$ si $P$ es congruente con $P'$
2. $[P]=[P_1]+[P_2]$ si $P$ puede cortarse en polígonos $P_1$ y $P_2$ .

Un ejercicio fácil (esbozado en la nota que enlazo) muestra que $[P]=[P']$ sólo si $P$ y $P'$ tienen la misma área, por lo que $K(Poly)\simeq \mathbb{R}$ . Pero aún mejor, se puede defina el área de un polígono $P$ como su clase $[P]$ en $K(\text{Poly})$ .

De hecho, para muchas clases razonables de subconjuntos del plano, se puede ampliar esta definición para asignar a dicho conjunto una clase en $K(\text{Poly})$ . Por ejemplo, supongamos una secuencia de clases $[P_i]$ en $K(\text{Poly})$ converge a $[P]$ si existe un representante $[A]-[B]$ para $[P-P_i]$ con ambos $A$ y $B$ contenida en $[0, \epsilon_i]\times [0, \epsilon_i]$ con $\epsilon_i\to 0$ .

Supongamos que $X$ es un subconjunto del plano de modo que existe una secuencia de polígonos $P_i$ tal que la diferencia simétrica $(X\cup P_i)-(X\cap P_i)$ está contenido en un polígono $Q_i$ . Supongamos además que $[Q_i]=[Q'_i]$ y $Q'_i\subset [0, \epsilon_i]\times [0,\epsilon_i]$ con $\epsilon_i\to 0$ . A continuación, asignamos a $X$ la clase $$\lim_{i\to \infty} [P_i]$$ si existe. No es difícil comprobar (¡geométricamente!) que esta asignación está bien definida.

NB: Este enfoque no funciona para definir el volumen en $\mathbb{R}^n, n>2$ . De hecho, Dehn demostró que hay muchos poliedros con el mismo volumen que no son equidecomponibles.

Answer 2

Si te conformas con áreas de polígonos, puedes definirlo à la K-theory.

Sea $\mathcal A$ sea el grupo abeliano libre generado por polígonos en el plano, módulo a las relaciones que identifican pares de polígonos congruentes y tal que $P=P_1+P_2$ si $P_1$ y $P_2$ son el resultado de cortar el polígono $P$ en dos trozos con una línea.

Se puede demostrar que $\mathcal A\cong\mathbb R$ como grupo, y que el mapa canónico $\mathrm{Polygons}\to\mathcal A$ enviar un polígono a su clase es el área.

Answer 3

Para los estudiantes, probablemente lo más elemental sería limitarse a regiones del plano que puedan triangularse con un número finito de triángulos (con lados rectos). Si se conoce el área de un triángulo, se define el área de una región sumando las áreas de los triángulos de una triangulación finita. Lo único que hay que comprobar es que esté bien definida. Para ello, yo demostraría primero que dos triangulaciones finitas cualesquiera de una región en el plano tienen una subdivisión común (si eres razonablemente listo, esto se puede hacer muy rápido; seguramente en 3-5 páginas), y luego demostrarías que tu noción de área es invariante bajo subdivisiones.

Lo bueno de esto es que todas las propiedades principales que quieres (por ejemplo, que las áreas se comporten correctamente bajo mapas lineales y traslaciones) vienen gratis de las propiedades análogas de los triángulos, que son fáciles.

Answer 4

No sé cuánto sobre áreas quieres demostrar, y cómo de desarrollada se supone que es la formación de la audiencia, pero aquí hay una definición de área de una región plana delimitada.

Tomemos una región $D$ en $\mathbb{R}^2$ , $\newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\ve}{{\varepsilon}}$ considerar la $\varepsilon$ -grid $(\varepsilon\bZ)^2$ y denotamos por $N_\ve(D)$ el número de $\ve$ -píxeles que se tocan $D$ . (Un píxel es uno de los $\ve\times\ve$ -de la cuadrícula). A continuación, declaramos $D$ ser medible (es decir, tener área) si el límite $\newcommand{\eA}{\mathscr{A}}$

$$ \eA(D)= \lim_{\ve\to0}\ve^2 N_\ve(D) $$

existe. Si este es el caso, entonces definimos el área como el límite $\eA(D)$ y fijamos $\eA_\ve(D)=\ve^2N_\ve(D)$ .

El primer paso es demostrar $\newcommand{\bR}{\mathbb{R}}$ que si $L,U: [a, b]\to \bR$ son funciones integrables de Riemann y $D(U,L)$ es la región

$$D_f= \bigl\lbrace\; (x,y)\in [a,b]\times \bR;\;\;L(x) \leq y\leq U(x)\;\bigr\rbrace, $$

entonces $D(U,L)$ es medible

$$\eA(D(U,L))=\int_a^b \bigl(\; U(x)-L(x)\;\bigr) dx. $$

Lo siguiente que hay que demostrar es una forma débil del principio de inclusión-exclusión: si $D_1$ , $D_2$ son regiones medibles que se intersecan a lo largo de la gráfica de un $C^1$ -entonces $D_1\cup D_2$ es medible y

$$\eA(D_1\cup D_2)=\eA(D_1)+\eA(D_2). $$

Answer 5

Para ser honesto, no estoy seguro de si esta consrucción se ajusta al criterio de no aburrimiento, pero es bastante corta (te prometo que todo esto lleva menos de 40 páginas ;) ) y funciona en todas las dimensiones. Está relacionada con la respuesta de Andy Putman, y los comentarios posteriores. Tal vez debería haber seguido comentando, pero simplemente no había espacio suficiente.

En mis clases de física introduzco la medición del área de conjuntos acotados abiertos y cerrados (o del volumen en $\mathbb{R}^n$ ), considerando uniones contables de rectángulos cerrados, siendo las aristas de todos ellos paralelas a un determinado sistema de coordenadas cartesianas (llamémoslas aceptables). La unión debe ser limpia, en el sentido de que los rectángulos se solapen limpiamente para formar una rectangulación (digamos). Dado que cualquier intersección no vacía de dos rectángulos aceptables es de nuevo un rectángulo aceptable, cualquier unión contable de rectángulos aceptables admite claramente una subrectangulación limpia. El mismo argumento funciona también bastante bien para describir una subrectangulación común de otras dos que tengan la misma imagen.

Defina primero el área para uniones finitas, empezando por asignar el valor habitual al área de un rectángulo simple (dado como axioma), y extendiendo la función de área utilizando la aditividad habitual para uniones cuasi-disociadas (se cruzan como máximo a lo largo de una arista común) de rectángulos aceptables (dado como axioma). En este caso se obtienen todas las propiedades habituales de un área.

Ahora una unión acotada contable y limpia $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}R_n$ de rectángulos aceptables se puede asignar su área como la serie $\sum_{n\in\mathbb{N}}\mathtt{Area}(R_n)$ (que siempre converge). Como se ha indicado anteriormente, encontrar una subrectangulación común es bastante sencillo, y el límite no depende de la subrectangulación elegida (series conmutativamente sumables).

Dado que cualquier conjunto abierto es rectangulable (en el sentido de que se rompe en una unión limpia contable de rectángulos aceptables), podemos medir cualquier conjunto abierto. Todo conjunto compacto $K$ está incluido en el interior de un rectángulo aceptable $R$ y $R\setminus{K}$ es un conjunto rectangulable acotado $O$ . Asignamos $\mathtt{Area}(R)-\mathtt{Area}(O)$ a la zona de $K$ .

Añadiendo más axiomas naturales se puede extender de nuevo este funcional a todos los elementos acotados de la tribu boreliana, pero eso es una historia clásica.