Demostración de la desigualdad de Paley-Zygmund (límite inferior para la cola superior de variables aleatorias cuadradas integrables)

Question

Dada una v.r. cuadrada integrable $X$ satisfaciendo $P(|X| > 0) > 0$ el objetivo es demostrar que $$ P(|X| \ge \lambda E[|X|]) \ge \frac{(1-\lambda)^2 E^2[|X|]}{E[X^2]} $$

Mi intento hasta ahora:

Sea $A = \{|X| \ge \lambda E[|X|]\}$ y $1_A$ el indicador de $A$ . Aplicando la desigualdad de Holder a $\int |X| \chi_A dP$ nos da $$ \left (\int |X|\cdot 1_A dP\right )^2 \le \int |X|^2 dP \int 1_A^2 dP = E[X^2]P(A)$$

para que

$$ P(A) \ge \frac{E^2[|X|\cdot 1_A]}{E[X^2]} $$

Entonces bastaría con demostrar que $E[|X|\cdot 1_A] \ge (1-\lambda)E[|X|]$ pero no estoy seguro de cómo hacerlo o de si esto va por buen camino en general.

Gracias.

Edita:

Como pista para otros que se encuentren con esto: Siempre podemos descomponer $E[X] = E[1_A X] + E[1_{A^\complement}X]$ . Puede vincular uno de estos términos mediante $\lambda E[X]$ y aplicando Cauchy-Schwarz (= Holders para p = q = 2) se obtiene el resultado deseado, que se conoce como desigualdad de Paley-Zygmund.

Answer 1

\begin{align} \mathbb E[X] &= \mathbb E\left[X\mathsf 1_{\{X\leqslant \lambda\mathbb E[X]\}}\right] +\mathbb E\left[X\mathsf 1_{\{X> \lambda\mathbb E[X]\}}\right]\\ &\geqslant \lambda\mathbb E[X]+ \mathbb E[X^2]^{1/2}\mathbb P(X>\lambda\mathbb E[X])^{1/2}\\ &\implies \mathbb P(X\geqslant \lambda\mathbb E[X])^{1/2}\mathbb E[X^2]^{1/2}\geqslant \mathbb E[X](1-\lambda)\\ &\quad \implies\mathbb P(X\geqslant\lambda\mathbb E[X])\geqslant(1-\lambda)^2\frac{\mathbb E[X]^2}{\mathbb E[X^2]}. \end{align}