Prueba de los límites mediante épsilon-delta

Question

Demostrar que si $\lim_{x \to c}f(x)=L$ y $\lim_{x \to c}g(x)=\infty$ entonces $$\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$ Si fijamos un $\epsilon_1$ entonces podemos encontrar un $\delta_1$ tal que $|x-c|<\delta_1 \implies |f(x)-L|<\epsilon_1 \implies L-\epsilon_1<f(x)<L+\epsilon_1 \implies |f(x)|< max (|L+\epsilon_1|, |L-\epsilon_1|)=\epsilon'$ Así obtenemos para $|x-c|<\delta_1$ tenemos $$|\frac{f(x)}{g(x)}|<\frac{\epsilon'}{|g(x)|}$$ Ahora bien, si elegimos cualquier $\epsilon$ y quieren mantener $$|\frac{f(x)}{g(x)}|<\epsilon$$ entonces tenemos que hacer $\frac{\epsilon_1}{|g(x)|}<\epsilon$ y por eso $|g(x)|>\frac{\epsilon_1}{\epsilon}$ y esta desigualdad es cierta para $x$ suficientemente cerca de $c$ como $\lim_{x \to c}g(x)=\infty$ ¿Es correcta mi prueba?

Answer 1

La idea es correcta pero para una prueba ordenada haz lo siguiente. Fije cualquier $\epsilon_1$ . Usted puede toke esto para ser $1$ . Esto le dará una $\delta_1$ . Entonces sale $\delta_2$ tal que $|g(x)| >\frac 1{\epsilon} $ para $|x-c| <\delta_2$ . Ahora toma $\delta$ sea el mínimo de $\delta_1$ y $\delta_2$ .