Anillos de valoración de $k(X)$

Question

Mi pregunta es cómo determinar todos los anillos de valoración del campo $k(X)$ Contar el campo $k$ .

Quiero demostrar que si $V$ es un anillo de valoración del campo $k(X)$ y $\neq k(X)$ entonces $V=k[X^{-1}]_{X^{-1}}$ o $V=k[X]_{f}$ para algún polinomio irreducible $f$ . Empiezo por: si $X\notin V$ entonces $X^{-1}\in V$ y me quedé para demostrar que $V=k[X]_{X^{-1}}$ . En el otro caso, si $X\in V$ es evidente que $k[X]\subset V$ aquí cómo construir $f$ .

Answer 1

Si $X^{-1}\in V$ y $X\notin V$ entonces $X^{-1}\in m$ donde $m$ es el ideal máximo de $V$ . Obtenemos $m\cap k[X^{-1}]=(X^{-1})$ y, por lo tanto $k[X^{-1}]_{(X^{-1})}\subseteq V$ .

Si $X\in V$ entonces $k[X]\subset V$ y $m\cap k[X]$ es un ideal primo de $k[X]$ generado por un polinomio irreducible $f$ . Entonces tenemos $k[X]_{(f)}\subseteq V$ .

Obsérvese que en ambos casos $m$ está sobre el ideal máximo de los subrings de $V$ que también son anillos de valoración, por lo que debemos tener igualdad.