Funtor exacto izquierda/derecha "en la naturaleza" que no es un adjunto derecha/izquierda

Question

Sea $\mathcal{F}$ y $\mathcal{G}$ sean categorías abelianas. Es bien sabido que si un functor $\phi : \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{G}$ tiene una unión a la derecha (por tanto $\phi$ es a su vez una unión a la izquierda de algún otro functor), entonces $\phi$ es correcto exacto. Del mismo modo, si $\phi$ tiene una unión a la izquierda (por tanto $\phi$ es a su vez una unión a la derecha de algún otro functor), entonces $\phi$ es exacta a la izquierda.

Estaba repasando la lista de functores exactos a la izquierda y a la derecha que conozco, y todos estaban cubiertos por la condición anterior. Alguien puede darme ejemplos que aparezcan "en la naturaleza" (es decir, que no sean demasiado artificiales) de functores exactos a la izquierda o a la derecha que no sean contiguos?

Conozco el teorema del functor adjunto, pero sus condiciones son mucho más estrictas que la simple exactitud a la izquierda o a la derecha.

Answer 1

No estoy de acuerdo en que las hipótesis del teorema del functor adjunto sean mucho más fuertes que la exactitud. La exactitud a la izquierda equivale a preservar todos los límites finitos, y las hipótesis del teorema del functor adjunto son la existencia de todos los límites, la preservación de todos los límites y una condición de pequeñez que suele ser fácil de verificar. Además, para saber que un functor exacto izquierdo preserva todos los límites, basta con saber que preserva productos arbitrarios (ya que cualquier límite puede expresarse como un núcleo de un mapa apropiado entre productos). Por tanto, en la mayoría de las aplicaciones típicas, la única diferencia entre ser exacto por la izquierda y tener un adjunto por la izquierda es si un functor preserva infinitos productos.

Esto también muestra cómo encontrar un contraejemplo: encontrar un functor exacto a la izquierda que no preserve los productos infinitos. Por ejemplo, si $M$ es cualquier módulo plano sobre un anillo conmutativo $R$ tensando con $M$ se deja exacta, pero no preservará los productos infinitos a menos que $M$ tiene buenas propiedades de finitud (si $R$ es noetheriano, la condición es que $M$ está finitamente generada). En particular, si $R=\mathbb{Z}$ podrías tomar $M=\mathbb{Q}$ o si $R$ es un campo que podría tomar $M$ cualquier espacio vectorial de dimensión infinita.

Como Todd señala en su comentario, de manera similar se puede obtener un ejemplo de exactitud a la derecha en lugar de a la izquierda por Homming a partir de un módulo proyectivo que no está finitamente generado.

Se puede obtener un tipo de contraejemplo más artificial tomando categorías abelianas con una restricción de tamaño en sus objetos que impida la existencia del adjunto (porque no se tienen todos los (co)límites). Por ejemplo, tomemos la categoría de los espacios vectoriales de dimensión contable sobre algún campo, y consideremos el endofunctor dado por el tensado con un espacio de dimensión contablemente infinita $V$ . Esto es exacto, y debería tener un adjunto correcto dado por $\mathrm{Hom}(V,-)$ (y es fácil demostrar que si el adjunto derecho existe, debe estar dado por $\mathrm{Hom}(V,-)$ ). Pero este adjunto derecho es indefinido porque (por ejemplo) $\mathrm{Hom}(V,V)$ es incontable-dimensional y por lo tanto no existe en nuestra categoría.

Answer 2

Hay functores importantes como éste asociados con coalgebras o corings. Por ejemplo, sea $C$ sea una álgebra coasociada con conit sobre un campo y $N$ ser un derecho $C$ -comódulo. Entonces el producto cotensor con $N$ en $C$ es un functor exacto covariante izquierdo $N\square_C{-}\colon C{-}comod \to k{-}vect$ de la categoría de izquierda $C$ -a la categoría de $k$ -espacios vectoriales. Este functor preserva sumas directas infinitas, pero no productos infinitos, por lo que no puede ser un adjunto (en general).

Del mismo modo, dejemos que $M$ ser una izquierda $C$ -comódulo. Entonces el Cohom de $M$ en $C$ es un functor exacto covariante derecho $Cohom_C(M,{-})\colon C{-}contra\to k{-}vect$ de la categoría de izquierda $C$ -contramódulos a la categoría de $k$ -espacios vectoriales. Este functor preserva infinitos productos, pero no infinitas sumas directas, por lo que no puede ser un adjunto (en general).

Answer 3

$\newcommand{\C}{\mathbf{C}} \newcommand{\AbGp}{\mathrm{AbGp}} \newcommand{\Psh}{\mathrm{Psh}} \newcommand{\Sh}{\mathrm{Sh}}$ Sea $\C$ sea un sitio cualquiera (es decir, una categoría pequeña dotada de una topología de Grothendieck). Entonces el funtor de sheafificación $\AbGp(\Psh(\C)) \to \AbGp(\Sh(\C))$ preserva los límites finitos, pero no en general todos los límites; así que es un functor exacto izquierdo sin un adjunto izquierdo. (Sin embargo, tiene un adjunto derecho: el functor olvidadizo).

Answer 4

Imagen inversa de láminas es exacta, pero generalmente sólo tiene un adjunto derecho (imagen directa).

También, para espacios Hausdorff localmente compactos, imagen directa con soportes adecuados es exacta a la izquierda, pero no tiene adjuntos en general a menos que pasemos a la categoría derivada.