Sea $G$ sea un grupo topológico de Hausdorff, si $b\in G$ ¿existe una vecindad abierta de $b$ tal que $U\cap \langle b\rangle$ es finito.
Sé que es una pregunta muy impar, pero agradecería mucho saber si esto es cierto o no.
Gracias
Respuesta
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No necesariamente. Por ejemplo $G$ sea el círculo unitario en el plano complejo, es decir, los puntos $e^{it}$ donde $t$ se extiende sobre los reales, bajo la multiplicación habitual. Sea $b=e^{it_0}$ donde $t_0$ no es múltiplo racional de $\pi$ . Se puede demostrar que el grupo generado por $b$ es denso en el círculo unitario.
Quizá le resulte más familiar el resultado de la siguiente forma. Supongamos que $\tau$ es irracional. Entonces el conjunto de partes fraccionarias de $n\tau$ como $n$ se extiende sobre los números naturales, es denso en el intervalo unidad.
