La pregunta que intento responder es la siguiente:
La iteración
$x_{n+1} = 2 - (1+c)x_n + cx_n^3$
convergerá a $\alpha = 1$ para algunos valores de $c$ (siempre que $x_0$ está suficientemente cerca de $\alpha$ ). Hallar los valores de $c$ para los que esto es cierto. ¿Para qué valores de $c$ ¿la convergencia será cuadrática?
Al abordar este problema, he supuesto que se trata de alguna variante del método de Newton. Gran parte de esta suposición proviene del hecho de que ambos estamos utilizando $x$ en lugar de $y$ y que la convergencia se da por supuesta siempre que nuestra conjetura inicial esté "suficientemente cerca". Al principio, intenté explorar con otros métodos iterativos básicos que no son de búsqueda de raíces (como el método de Euler) con la consideración de que quizás $c$ representaba algún tamaño de paso. Los intentos habían fracasado.
Si puedo demostrar que se trata de alguna variante del método de Newton, creo que la convergencia cuadrática vendría automáticamente. Sin embargo, eso me hace pensar que no sería el caso. Si lo fuera, ¿por qué lo preguntarían? En ese caso, podría ser algún otro método con convergencia superlineal, pero gana convergencia cuadrática con valores más estrictos de $c$ . Lo último que me confunde aquí es que, al expandir el paréntesis, obtengo un término inicial de $-x_n$ . Tampoco estoy seguro de cómo enfocar esto.
Agradezco cualquier ayuda o sugerencia.
