¿qué es una estructura espinor?

Question

Existen, por supuesto, muchas definiciones y referencias al respecto, pero del mismo modo que, en un colector $M$ ,

• una métrica riemanniana es una sección de formas bilineales simétricas definidas positivas sobre $TM$
• o una estructura casi compleja es una sección $J$ de $\textrm{End}(TM)$ que en todas partes es una antiinvolución ( es decir $J_x^2 = - \mathrm{Id}_{T_x M} $ )
• o una orientación es una sección no evanescente de $\Lambda^m TM$

es

una estructura de espín, una sección de formas cuadráticas $Q$ sur $TM$ (de tipo $(s,t)$ ) y un haz vectorial $S$ para que $\textrm{End}(S) \simeq \textrm{C}\ell(TM,Q)$ ?

...o algo por el estilo? ¿alguna referencia en la que se pueda afirmar de este modo?

Answer 1

Una estructura de espín sobre un espacio vectorial real V dotado de una forma cuadrática real μ es un bimódulo invertible (es decir, una equivalencia de Morita) de Cl(V,μ) a Cl( R dim(V) ,ν). Aquí ν es la suma directa de las copias dim(V) de la canónica canónica sobre R .

Un giro c sobre un espacio vectorial complejo V dotado de una forma cuadrática compleja μ es un bimódulo invertible de Cl(V,μ) a Cl( C dim(V) ,ν). Aquí ν es la suma directa de las copias dim(V) de la canónica canónica sobre C .

Tenga en cuenta que spin y spin c forma de las estructuras una categoría en lugar de un mero conjunto, tal y como cabría esperar.

Por supuesto, estas definiciones se extienden inmediatamente a los haces vectoriales, con el requisito obvio de que los bimódulos invertibles formen ellos mismos haces.

Una vuelta o giro c en una variedad lisa es un espín o espín c estructura en su real o complejo.

Answer 2

Capítulo 9 de Elementos de geometría no conmutativa, de Gracia-Bondia, Varilly y Figueroa, tiene esta perspectiva sobre el giro $^c$ y estructuras de espín.

La forma de pensar algebraicamente es que el módulo de secciones (continuas, digamos) de un haz espinor sobre una variedad (compacta, riemanniana) $M$ es el bimódulo de equivalencia de Morita para las álgebras $C(M)$ y $Cl(M)$ donde $C(M)$ es el álgebra de las funciones continuas y $Cl(M)$ es el álgebra de secciones continuas del haz de Clifford (formado utilizando la métrica de Riemann). Aquí se puede sustituir "continuo" por "suave" sin problemas.

Answer 3

Sólo para elaborar un poco en términos explícitamente diferencial-geométricos sobre la respuesta de MTS, que se refiere a ciertos resultados de Plymen originalmente replanteada en términos de equivalencia de Morita (a través del diccionario dado por el teorema de Serre-Swan), sea $M$ sea una variedad Riemanniana orientable compacta, y sea $\operatorname{\mathbb{C}l}^{(+)}(M)$ sea el haz de Azumaya de rango finito dado por la complejización del haz de Clifford $\operatorname{Cl}(M)$ si $\dim M$ es par, y por la complejización del subfondo par del haz de Clifford si $\dim M$ es impar. Entonces $M$ es *spin* $^\mathbb{C}$ si y sólo si existe un irreducible $\operatorname{\mathbb{C}l}^{(+)}(M)$ -es decir, un haz vectorial hermitiano $\mathcal{S} \to M$ (es decir, a haz de espinores) tal que $\operatorname{\mathbb{C}l}^{(+)}(M) \cong \operatorname{End}(\mathcal{S})$ .

Ahora, si lo que te importa son específicamente gire se puede dotar a $\operatorname{\mathbb{C}l}^{(+)}(M)$ con una canónica $\mathbb{C}$ -anti-involución lineal, y por lo tanto equipar el haz dual $\mathcal{E}^*$ de un $\operatorname{\mathbb{C}l}^{(+)}(M)$ -con la estructura de un $\operatorname{\mathbb{C}l}^{(+)}(M)$ -módulo. Es entonces , que $M$ es en realidad gire si y sólo si existe un irreducible $\operatorname{\mathbb{C}l}^{(+)}(M)$ -módulo $\mathcal{S} \to M$ tal que $\mathcal{S} \cong \mathcal{S}^\ast$ no sólo como haces vectoriales hermitianos, sino también como $\operatorname{\mathbb{C}l}^{(+)}(M)$ -módulos- esto es, entonces, el para su correspondiente estructura de espín. En efecto, por el isomorfismo antiunitario $\mathcal{S} \cong \mathcal{S}^\ast$ de haces vectoriales hermitianos definidos por la métrica hermitiana, junto con un poco de cuidado, se puede reconocer tal isomorfismo unitario de $\operatorname{\mathbb{C}l}^{(+)}(M)$ -no es más que el operador de conjugación de carga en espinores ligeramente disfrazado.