¿Las isogenias con núcleos racionales tienden a ser suryectivas?

Question

Estimada Comunidad MO,

este es un título bastante vago, así que permítanme decirles la observación precisa que he hecho.

Consideremos la familia de curvas elípticas sobre $\mathbf{Q}$ tener un racional $5$ -punto de torsión $P$ . Vienen dadas por $$E_d: Y^2 + (d+1)XY +dY=X^3+dX^2,$$ para $d \in \mathbf{Q}^*$ y $P=(0,0)$ . Sea $\eta: E_d \rightarrow E_d'$ la isogenia cuyo núcleo está formado exactamente por los cinco racionales $5$ -puntos de torsión.

Supongamos ahora que $E_d$ tiene rango $1$ . Una vez eliminada la torsión, el grupo de Mordell-Weil es isomorfo a $\mathbf{Z}$ y por lo tanto, $\eta$ induce un homomorfismo de grupo inyectivo $\mathbf{Z} \rightarrow \mathbf{Z}$ que o bien es un isomorfismo o bien tiene cokernel de tamaño $5$ .

Me parece que este mapa tiende a ser un isomorfismo.

En concreto, entre todos $d$ tal que el numerador y el denominador están limitados por $100$ hay $3,038$ curvas elípticas de rango analítico igual a $1$ (de $6,087$ curvas totales), y entre ellas el mapa anterior $\mathbf{Z} \rightarrow \mathbf{Z}$ es un isomorfismo en $91.2\%$ de los casos.

Así que me pregunto, ¿qué se puede esperar por término medio? $50\%$ ? $100\%$ ?

Tal vez, esto fue sólo una coincidencia en una pequeña base de datos. Tal vez alguien ha visto un comportamiento similar en algún otro lugar. Tal vez esto no es nada nuevo y simplemente no he oído hablar de ello. Tengo curiosidad por leer lo que piensas al respecto.

Muchas gracias.

Answer 1

He reciclado mi código del otro hilo para probar esto. Hay 559 curvas elípticas de conductor < 300000 que tienen rango 1 y un punto de torsión racional 5. De estas 559 curvas hay 452 para las que el mapa $\mathbb Z \to \mathbb Z$ inducida por $\eta$ es suryectiva (esto es alrededor del 81%).

Hice el mismo cálculo para el punto de torsión racional 7. El problema ahora es que el conjunto de datos es muy pequeño porque sólo hay 31 curvas elípticas de conductor < 300000 de rango 1 con un punto de torsión 7 racional. Pero lo notable es que para 30 de estos 31 casos el mapa $\mathbb Z \to \mathbb Z$ es suryectiva.

Edita: He actualizado los resultados tras descubrir un pequeño error en mi código que hacía que algunas curvas de la base de datos se omitieran en la prueba.

Answer 2

He aquí un comentario bastante largo en el que intento justificar por qué creo que la mayoría tendrá un mapa suryectivo en el grupo Mordell-Weil. No me gustaría adivinar cuál es el %.

Sea $E$ sea una curva elíptica definida sobre $\mathbb{Q}$ con un punto racional de orden $p>2$ . Escriba a $\varphi : E \to E'$ para el cociente de $E$ por este punto de torsión racional. Supongamos que $E$ tiene rango $1$ . Hagamos también primero algunas suposiciones simplificadoras: Supongamos que la reducción en $p$ no es aditivo, que los grupos Tate-Shafarevich de $E$ y $E'$ no tienen $p$ -torsión, y que $E'$ no tiene $p$ -torsión.

Esto implica que las curvas tienen una reducción semiestable en todas partes (al menos si $p>3$ ). Esto implica de nuevo que el mapa $E\to E'$ es etale y los periodos reales de Neron cambian en $\Omega' = \tfrac{1}{p}\Omega$ . Consideremos la fórmula BSD que se sabe que es invariante bajo esta isogenia. El cociente de las dos fórmulas para el $L$ -valor da una relación como $$ 1 = \frac{w \cdot h \cdot c \cdot s}{t^2} $$ donde primero $w = \Omega/\Omega' = p$ entonces $t=p$ es el cociente del orden del grupo de torsión de $E$ por el de $E'$ . Siguiente $h$ es el cociente del regulador de $E$ por el regulador de $E'$ . Por lo tanto $h=1/p$ si el mapa $\varphi$ en el grupo de Mordell-Weil es suryectiva y $h=p$ de lo contrario. Entonces $s=1$ es el cociente del orden de Shas y $c$ es el cociente de los números Tamagawa de $E$ por los de $E'$ . Por lo tanto, en nuestro caso $$ c = \prod_v \frac{ c_v(E)}{c_v(E')} \qquad \text{ is $ p^2 $ if our map surjective and $ 1 $ otherwise.} $$ (Si $s>1$ hay que dividirlo por $s$ .) Ahora en todos los lugares $v$ la reducción es semiestable (una parte de cuando $p=3$ y el tipo es IV o IV*). Para estos lugares, el cociente de los números de Tamagawa es fácil de calcular. Si la reducción no está dividida, el cociente es $1$ . En caso contrario $c_v(E)/c_v(E')$ es $p$ o $1/p$ . Sin embargo, el segundo caso sólo puede darse si $v\equiv 1 \pmod{p}$ . Así que yo pensaría que esto último es menos frecuente.

Sea $a$ sea el número de lugares de división para los que el cociente de los números de Tamagawa es $p$ y $b$ el número de lugares de división cuando se $1/p$ . Entonces $c = p^{a-b}$ . Nos preguntamos si $a-b$ es $2$ (caso suryectivo) o $0$ . Mi comentario anterior sugiere que $a$ es probable que sea mayor que $b$ .

Sin embargo $a$ y $b$ no son gratuitos: de hecho $a-b$ es igual a la diferencia entre las dimensiones $\hat d$ de la $\hat\varphi$ -grupo de Selmer y la dimensión $d$ de la $\varphi$ -Grupo Selmer. Al considerar los descensos, también se ve ahora que $d,\hat{d}\leq 2$ y $d+\hat{d} \geq 2$ (aún suponiendo una contribución trivial de Shas). Esto deja las posibilidades $a-b= \hat{d}-d$ ser $-2,0,2$ donde la primera opción queda excluida por lo anterior.

Pasemos ahora a mis suposiciones simplificadoras. Creo que la única que restringe al caso no genérico es que $s=1$ . Me imagino que se podría llevar más lejos el argumento anterior.

Un resultado relacionado es el hecho de que para curvas $E$ con un $p$ -punto de torsión con $p>3$ es casi imposible que ese $\prod c_v(E)$ no es divisible por $p$ . Lorenzini demuestra que sólo hay un número finito de tales $E$ .

Espero que alguien pueda ampliar y completar mi intento de respuesta.

Answer 3

Intenté lo mismo que Chris, pero creo que no te da un argumento para la subjetividad. Como es demasiado largo para un comentario, pongo una respuesta.

Supongamos que se nos da una curva elíptica $E$ en $\mathbf{Q}$ con racional $5$ -y denotemos por $\eta:E \rightarrow E'$ la isogenia que modela el racional $5$ -torsión. Como mencioné en mi pregunta esta curva viene dada por un número racional distinto de cero $d$ . Escriba a $d=u/v$ con $u$ y $v$ enteros coprimos distintos de cero. Ahora aplicamos la ecuación de Cassels y Tate que codifica la invariancia de BSD: $$ \frac{\# sha(E/\mathbf{Q})}{\# sha(E'/\mathbf{Q})} = \frac{R_{E'}}{R_E} \cdot \frac{ \# E(\mathbf{Q})^2_{tor} }{\# E'(\mathbf{Q})^2_{tor} } \cdot \frac{P_{E'}}{P_E} \cdot \prod_{p \leq \infty}\frac{c_{E',p}}{c_{E,p}}.$$

Supongamos ahora que la curva elíptica tiene rango 1.

Como ya ha dicho Chris, el cociente regulador es igual a $5^a$ para $a \in \{\pm 1 \}$ donde $a=1$ si y sólo si el mapa inducido de $\eta$ en la parte libre del grupo de Mordell-Weil es suryectiva. Por tanto, este es el caso que nos interesa.

Para el cociente de torsión tenemos, que es igual a $5^b$ para $b \in \{0,2 \}$ donde $b=2$ sólo si $d$ no es una quinta potencia. Esto es cierto para $100\%$ de los casos.

Para los periodos y números Tamagawa tenemos, que son iguales a $5^{c-1}$ para $$c=\# \{p \equiv 1(5),\ p \mid u^2+11uv-v^2\} + \# \{p=5,\ p^3 \mid u^2+11uv-v^2 \}$$ $$-\# \{p,\ p\mid uv \},$$ donde $p$ se extiende sobre los primos finitos. (Los resultados sobre el cociente de torsión y sobre el período y el cociente de Tamagawa (= cociente local) pueden encontrarse aquí. http://arxiv.org/abs/1206.1822/ ) (El caso $5^3\mid u^2+11uv-v^2$ ocurre si y sólo si $u \equiv 7v (25)$ .)

Por lo tanto, en el 100% de los casos tenemos

$$ \frac{\# sha(E/\mathbf{Q})}{\# sha(E'/\mathbf{Q})} = 5 \cdot 5^{\{\pm 1 \}} \cdot 5^c.$$

No veo ninguna razón por la que un valor negativo de $c$ que debería esperar con bastante frecuencia, debería forzar $a$ ser $1$ y no estar (completamente) subsumido en el cociente Sha.

Así, en lugar de tener un argumento a favor de $a=1$ esto es sólo un argumento a favor, que la isogenia $\eta$ puede alterar la $5$ -parte primaria de Sha de forma arbitraria.

(En caso de que se pregunte si $c$ puede ser positivo, mire $u=1$ , $v=76971487$ . Entonces $uv$ es primo y $u^2+11uv-v^2$ factores como $-1 \cdot 11 \cdot 31 \cdot 41 \cdot 61 \cdot 131 \cdot 151 \cdot 331 \cdot 1061$ Por lo tanto $c=7$ .)

(En mi base de datos de 3.038 curvas, se da la siguiente situación: $c=0$ para 247 curvas. Para todas ellas $\eta$ NO es suryectiva. $c=-2$ para 2258 curvas. Para 20 de ellas $\eta$ NO es suryectiva. $c=-4$ para 533 curvas. Para todas ellas $\eta$ es suryectiva).