Dos o más sucesos son colectivamente exhaustivos si cubren todo el espacio muestral. Dos o más sucesos son independientes si la aparición o el fallo de uno no afecta a la aparición o el fallo del otro. ¿Son correctas estas definiciones? ¿Es posible que un determinado conjunto de sucesos sea colectivamente exhaustivo e independiente al mismo tiempo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
(2017-09-01 21:00: Esta respuesta acaba de recibir un downvote de venganza. Oh bueno...)
1. Algunos acontecimientos $(A_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ son independientes si y sólo si, para cada $I\subseteq\{1,2,\ldots,n\}$ , $$P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)=\prod_{i\in I}P(A_i)$$ 2. Dos acontecimientos $A$ y $B$ son independientes si y sólo si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ . Si además $A$ y $B$ son "colectivamente exhaustivos", en el sentido de que $P(A\cup B)=1$ entonces se obtiene $$1=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)$$ lo que no es posible salvo si $P(A)=1$ o $P(B)=1$ .
3. Del mismo modo, si $(A_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ son independientes y colectivamente exhaustivos, entonces $A=\bigcup\limits_{i=1}^{n-1}A_i$ y $B=A_n$ son independientes y colectivamente exhaustivos por lo tanto, por nuestro punto anterior, o bien $P(A)=1$ o $P(B)=1$ . Es decir $P(A_n)=1$ o $(A_i)_{1\leqslant i\leqslant n-1}$ son independientes y colectivamente exhaustivos. Continuando con $(A_i)_{1\leqslant i\leqslant n-1}$ en este último caso, se ve que $P(A_i)=1$ para al menos algún índice $i$ .
En conclusión:
Los únicos acontecimientos $(A_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ que son independientes y colectivamente exhaustivas son tales que $P(A_i)=1$ para al menos algún índice $i$ .
