EDIT: He intentado mejorar la presentación. Espero que ahora sea un poco más legible.
Creo que la siguiente construcción ofrece un contraejemplo coherente. Utiliza el principio combinatorio $\diamondsuit$ que implica CH (la hipótesis del continuo) y es independiente de ZFC.
Trabajaré con ordinales, y como $\alpha<\omega_1$ (por ejemplo) puede verse como un punto o como un segmento inicial en $ \omega_1 $ Utilizaré la notación de intervalo cuando me refiera a este último.
Comience con un haz de círculos sobre $\omega_1$ es decir, un espacio $X$ con un mapa continuo $\pi$ en $\omega_1$ tal que la fibra sobre cada punto $\pi^{-1}(\{\alpha\})$ es un círculo. (Por supuesto, $\omega_1$ está dotada de la topología de orden). Digamos que un subconjunto de $X$ está acotada si está contenida en $\pi^{-1}([0,\alpha])$ para algunos $\alpha<\omega_1$ y sin límites en caso contrario.
Nyikos demostró en su artículo "The theory of non-metrizable manifolds" en el Handbook of set theoretic topology (Ejemplo 6.17) que utilizando $\diamondsuit$ podemos construir un haz circular sobre $\omega_1$ con las siguientes propiedades:
1) El conjunto subyacente de $X$ es $\omega_1\times\mathbb{S}^1$ pero la topología no es la del producto.
2) $\pi^{-1}([0,\alpha])$ es homeomorfo a $[0,\alpha]\times\mathbb{S}^1$ con la topología de producto habitual para cualquier $\alpha<\omega_1$ . En particular, $X$ es localmente compacta. Podemos fijar un homeomorfismo $\psi_\alpha:\pi^{-1}([0,\alpha])\to [0,\alpha]\times\mathbb{S}^1$ para cada $\alpha<\omega_1$ .
3) Si $E\subset X$ está cerrado, entonces $E$ está acotado, o $E$ contiene $\pi^{-1}(C)$ para $C$ un subconjunto cerrado e ilimitado de $\omega_1$ . En particular, en este último caso $E$ no está totalmente desconectado ya que contiene copias de todas las fibras (que son círculos) por encima del miembro de $C$ .
(Nota: En realidad, Nyikos construye un haz sobre el rayo largo ${\mathbb{L}}_+$ que es incluso una superficie, pero tomamos sólo la restricción a $\omega_1$ .)
Ahora, defina un haz de círculos $\pi':Y\to\omega_{\omega_1}$ como sigue. El conjunto subyacente de $Y$ es $\omega_{\omega_1}\times\mathbb{S}^1$ . $X$ se incluirán en $Y$ como la unión de las fibras por encima del $\omega_\alpha$ para $\alpha<\omega_1$ . La topología "entre" $\omega_\alpha$ y $\omega_{\alpha+1}$ es la topología de producto habitual. Es decir, si $\omega_\alpha < \gamma < \omega_{\alpha+1}$ dado $x\in\mathbb{S}^1$ Toma $\beta,\beta'$ con $\omega_\alpha\le\beta<\gamma<\beta'< \omega_{\alpha+1}$ y un $O\subset\mathbb{S}^1$ que contiene $x$ entonces $(\beta,\beta')\times O$ es una vecindad de $\langle\gamma,x\rangle$ .
Ahora definimos los vecindarios de $\langle\omega_{\alpha},x\rangle$ . En $X$ elige un barrio $U$ de $\langle \alpha,x\rangle$ y denotemos por $U^\beta$ la intersección $U\cap \pi^{-1}(\{\beta\})$ . Establecer $V^{\omega_\beta}=U^\beta$ y si $\omega_\beta<\gamma<\omega_{\beta+1}$ set $V^{\gamma}=U^{\beta+1}$ . Es decir: $V^\gamma$ es igual a la intersección de $U$ con la fibra sobre $\beta+1$ . Entonces una vecindad de $\langle\omega_{\alpha},x\rangle$ viene dada por la unión de $\{\gamma\}\times V^{\gamma}$ para todos $\gamma$ mayor que algunos $\gamma'$ .
Entonces $Y$ tiene las siguientes propiedades:
2') Para cualquier $\alpha<\omega_{\omega_1}$ , $(\pi')^{-1}([0,\alpha])$ es homeomorfo a $[0,\alpha]\times\mathbb{S}^1$ con la topología de producto habitual (y por tanto $Y$ es localmente compacta). Para ver esto, defina el homeomorfismo $\phi:(\pi')^{-1}([0,\alpha])\to [0,\alpha]\times\mathbb{S}^1$ estableciendo $\phi(\langle\omega_{\alpha},x\rangle)=\psi(\langle\alpha,x\rangle)$ y para $\omega_\alpha<\gamma<\omega_{\alpha+1}$ set $\phi(\langle\gamma,x\rangle)=\psi(\langle\alpha+1,x\rangle)$ donde $\psi$ se define en 2).
3') Como 3) con $\omega_{\omega_1}$ en lugar de $\omega_1$ .
Ahora bien, un subconjunto acotado de $Y$ está contenida en algún $[0,\alpha]\times\mathbb{S}^1$ y tiene por tanto cardinalidad $\max\{|\alpha|,\omega_1\}<\omega_{\omega_1}$ (ya que $2^\omega=\omega_1$ por CH). Tomando la compactificación de un punto se obtiene un espacio compacto tal que un conjunto cerrado de cardinalidad $\omega_{\omega_1}$ no puede desconectarse totalmente.
Espero no haberme perdido nada.
No sé si se puede hacer otra construcción en ZFC, pero esta en concreto necesita al menos algo más que ZFC+CH, porque el espacio Nyikos $X$ tendría que contener una copia de $\omega_1$ (lo cual es imposible, y por tanto el espacio no existe) en un modelo de ZFC+CH debido a Eisworth y Nyikos.
