"Estoy aprendiendo álgebra lineal y no estoy seguro de lo que significa el $F^2$ notación. Anteriormente se dijo que $F = \mathbb{Z}_3$ con elementos $[0]$ , $[1]$ y $[2]$ . ¿Tiene $F^2$ realmente cuadrado $F$ ? ¿También se elevan al cuadrado todos los elementos? (es decir, ¿serían los elementos $[0]$ , $[1]$ y $[4]$ ?)
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Marnaw
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En cierto sentido es cuadrar, sí. Pero es más abstracto que cuadrar los elementos. Es cuadrar el fijarse .
Dados dos conjuntos $X, Y$ el producto de $X$ y $Y$ comúnmente denominado $X\times Y$ es el conjunto de todos los pares $(x, y)$ con $x\in X, y\in Y$ . A veces, $X$ y $Y$ será el mismo espacio, y terminará con $X\times X$ que a menudo se abrevia como $X^2$ .
(Puede que estés familiarizado con el plano, donde cada punto tiene un par de coordenadas $(a, b)$ donde $a$ y $b$ son números reales. Este plano se denomina a menudo $\Bbb R^2$ porque es exactamente esta construcción aplicada al conjunto $\Bbb R$ de números reales).
En su caso, estamos viendo $(\Bbb Z_3)^2$ . Los elementos son todas las parejas posibles $([a],[b])$ donde $[a], [b]\in \Bbb Z_3$ . Por tanto, hay nueve elementos (nótese que $9 = 3^2$ lo cual no es una coincidencia, y creo que es una de las principales razones por las que esta construcción se llama "producto" en primer lugar: Para conjuntos finitos, el número de elementos de un conjunto producto es el producto del número de elementos de los conjuntos "factores"). Estos elementos son $$ ([0],[0]),\quad([0],[1]), \quad([0],[2])\\ ([1],[0]),\quad([1],[1]), \quad([1],[2])\\ ([2],[0]),\quad([2],[1]), \quad([2],[2]) $$ Si estás familiarizado con los vectores en el plano real, éstos funcionan exactamente igual. Por ejemplo, sumas dos de ellos sumando las primeras componentes y sumando las segundas componentes. Se escala por un elemento en $\Bbb Z_3$ escalando cada componente.
