Sea $M_{\phi}$ sea un toro cartográfico hiperbólico procedente de un mapa pseudo-Anosov $\phi$ en una superficie $S$ . ¿Existe alguna forma de estimar la longitud de la geodésica que representa una curva dada en la superficie en términos del mapa $\phi$ ? Es decir, sabiendo algo como las foliaciones estables e inestables para el mapa o algo equivalente, ¿se puede estimar la longitud de una curva dada? Cualquier referencia para algo así será muy apreciada.
Por ejemplo, si se toma un toroide cartográfico $M_{\phi}$ perforar una curva simple no trivial $\alpha$ en la superficie y vuelva a pegar por $\sigma^n$ un gran giro de Dehn sobre $\alpha$ vas a obtener un toro de mapeo hiperbólico $M_{\phi\sigma^{n}}$ . En este múltiple $\alpha$ va a ser muy corto.
Otro ejemplo, si tomas un mapa $\psi = \phi\sigma^n$ donde $\phi$ es pseudo-anosov en todas $S$ y $\sigma$ es un pseudo-Anosov justo en una subsuperficie $X \subset S$ Creo que las curvas en el complemento de $X$ tienen que ser muy pequeñas para $n$ grande, ¿verdad?
