Digamos que una suma de elementos en un espacio de Banach es absolutamente convergente si incluso la suma de las normas converge, es decir. $\sum_{i=1}^\infty ||x_i|| < \infty$ . Esta condición implica que la suma de los $x_i$ puede reordenarse, y de hecho que puede representarse de esta forma que no depende de la ordenación: Se considera el conjunto dirigido de subconjuntos finitos de $\mathbb{N}$ y la red formada en este subconjunto dirigido es para cada $J \subset \mathbb{N}$ con $J$ finito asignamos la suma $\sum_{i \in J} x_i$ . ¿Tenemos TFAE, o más implicaciones que las que he expuesto a continuación:
(1) La suma converge absolutamente
(2) La suma converge en el sentido de la red
(3) La suma converge en el sentido ordenado, pero cualquier permutación sobre los naturales da el mismo resultado
Son equivalentes en $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ . Por lo demás, sólo veo que (1) implica (2) implica (3). En realidad también (3) implica (2) para espacios de Banach generales porque se puede comprobar con todas las funcionales lineales continuas y entonces se vuelve a los casos familiares.
