Prueba del teorema de Rolle

Question

Me pregunto si podemos utilizar el Teorema del valor intermedio demostrar Teorema de Rolle .

Las hipótesis de Teorema de Rolle son:

• La función debe ser continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ .
• La función debe ser diferenciable en el intervalo abierto $(a,b)$ .
• $f(a)=f(b)$

El teorema demuestra entonces que existen $c$ en $(a,b)$ tal que $f'(c)=0$ .

Para la T.I.V. necesitamos que la función sea continua y $f'(a).f'(b) \leq 0$ .

Si se cumplen las condiciones del Teorema de Rolle, ¿significa que $f'$ ¿es continua?

Para la segunda condición tenemos que $$ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} .\frac{f(x)-f(b)}{x-b}<0$$ porque $$ f(x)-f(a)=f(x)-f(b)$$ y $$ 0<x-a<b-a $$ $$ a-b<x-b<0 $$

Answer 1

Aquí tienes una respuesta a la pregunta equivocada (usar la MVT para probar la de Rolle), seguida de una respuesta a la pregunta que creo que estabas haciendo.

Es casi seguro que se puede utilizar el MVT para demostrar Rolle - de hecho, Rolle es el MVT en el caso especial en que $f(a) = f(b)$ . Pero normalmente se usa la de Rolle para demostrar la MVT, así que para hacer de ésta una prueba "honesta", necesitarías una prueba alternativa de la MVT.

NB En realidad, después de haber editado la pregunta, me doy cuenta de OP está preguntando por el teorema del valor INTERMEDIO, no el teorema del valor MEDIO.

Para responder a una de las preguntas planteadas: si se cumplen las condiciones del teorema de Rolle, ¿significa eso que $f'$ ¿es continua? La respuesta es no. Sea $$ f(x) =\begin{cases} 0 & x = 0 \\ x^2 \sin(\frac{1}{x}) & \text{else}\end{cases}. $$ Entonces $f$ es diferenciable en todas partes, tiene $f(-1/\pi) = f(1/\pi) = 0$ pero $f'$ no es continua en $x = 0$ .

Porque no podemos suponer que $f'$ es continua, tu prueba de Rolle vía IVT no parece que vaya a funcionar, no.

Answer 2

+1 por una buena pregunta. Es bastante extraño que las preocupaciones de la pregunta no se abordaran en su totalidad durante tanto tiempo y nadie se diera cuenta (quizás debido al hecho de que se marcó como aceptada).

La premisa básica de la pregunta $f'(a)f'(b) \leq 0$ está mal. El primer punto es que la diferenciabilidad de $f$ en $a, b$ no se da por lo que no se puede hablar de $f'(a) $ y $f'(b) $ . En segundo lugar, incluso si eso se permite modificando las hipótesis (es decir, asumir $f'$ existe en $[a, b] $ ) no se deduce que $f'(a) f'(b) \leq 0$ .

La desigualdad en cuestión debe ser $$\frac{f(x) - f(a)} {x-a} \cdot\frac{f(x) - f(b)} {x-b} \leq 0$$ pero desde aquí no podemos ir a $f'(a) f'(b) \leq 0$ mediante un procedimiento limitador, ya que no podemos tomar $x\to a$ y $x\to b$ simultáneamente.

La conclusión no es válida en general. Sin embargo, si $f$ no es constante en $[a, b] $ podemos aplicar una de las pruebas de IVT y obtener un subintervalo $[p, q] $ tal que $f(p) =f(q) =f(a) $ y $f(x) \neq f(a) $ para $x\in(p, q) $ . Y entonces se puede demostrar fácilmente que $f'(p) f'(q) \leq 0$ .

También otro punto curioso es que la derivada no necesita ser continua (como se muestra en otra respuesta aquí) y la intención del que pregunta es usar IVT vía continuidad de $f'$ para obtener un $f'(c) =0$ . Pues bien la derivada puede no ser continua pero satisface la propiedad del valor intermedio a través del teorema de Darboux y efectivamente obtenemos un punto $c\in[p, q] $ con $f'(c) =0$ .

Tanto la demostración del teorema de Rolle como la del teorema de Darboux se basan en las mismas dos ideas:

• Una función continua en un intervalo cerrado toma sus valores mínimo y máximo.
• El signo de la derivada en un punto nos da información sobre la naturaleza creciente/decreciente de la función en un punto (esto es una consecuencia inmediata de la definición de derivada) de modo que la derivada en los puntos extremos interiores debe desaparecer.

Así que, en esencia, el enfoque sugerido en la pregunta es una forma indirecta de demostrar el teorema de Rolle. Lo mejor es recurrir a la demostración habitual.