Tomando producto de cofactor con diferente fila

Question

Dada una matriz $A=(a_{ij})_{n\times n}$ , dejemos que $C_{i,j}$ sea el cofactor en posición $(i,j)$ . Por la fórmula del determinante, tenemos

$$\det A=\sum_{i=1}^n a_{i,1}C_{i,1}.$$

¿Y si tomamos una columna diferente para los cofactores, es decir

$$\sum_{i=1}^n a_{i,1}C_{i,2}$$

¿Debe evaluarse a cero?

Answer 1

Sí, la expansión del cofactor con una fila (o análogamente, columna) diferente siempre producirá cero. Para ver por qué, considere la expansión del cofactor a lo largo de la fila $k$ ª fila $$\sum_{j=1}^n a_{kj}C_{kj}.$$ Obsérvese que cada uno de los cofactores $C_{kj}$ no tiene conocimiento de las entradas del $k$ ª fila. Por definición, los cofactores del $k$ no dependen de la $k$ ª fila. Por lo tanto, podemos ver la expansión a lo largo de las entradas de alguna otra fila, digamos fila $k' \neq k$ dado por $$\sum_{j=1}^n a_{k'j}C_{kj},$$ como sustitución de las entradas del $k$ ª fila por los de la $k'$ fila. En efecto, la expansión piensa ahora que la fila $k$ y fila $k'$ de la matriz son iguales y, en consecuencia, se evalúa a cero.

Answer 2

Sí. Prueba por construcción: tomemos una matriz $A$ . Hacer otra matriz $B$ copiando $A$ de la primera fila a la segunda fila (en efecto, desechando $A$ de la segunda fila).

Ahora, el determinante de $B$ puede escribirse de forma equivalente como suma de la multiplicación por pares de $B$ con cofactores de elementos de la primera fila (ya que la primera y la segunda fila son idénticas). También, $\vert B \vert = 0$ ya que la primera y la segunda fila son linealmente dependientes.

De ahí se deduce la siguiente afirmación.