Sea $f$ sea un mapa continuo de un espacio topológico $X$ al círculo unitario, $S^1$ tal que $f$ NO es homotópico a un mapa constante. Se sabe que dos mapas homotópicos inducen los mismos homomorfismos sobre el grupo fundamental. Si $f$ fuera homotópico a un mapa constante, induciría un homomorfismo trivial. Mi pregunta es, en esta situación, ya que $f$ no es homotópico a un mapa constante, ¿puedo concluir que $f$ ¿induce un homomorfismo no trivial?
Respuesta
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Clases de homotopía de mapas de un complejo cw $X$ a $S^1$ están en biyección con $H^1(X, \mathbb{Z}) \cong hom(\pi_1(X), \pi_1(S^1)$ . Así que la respuesta a su pregunta es sí.
En general, cualquier mapa $f\colon X\to Y$ que induce un mapa trivial sobre grupos fundamentales puede elevarse a la cubierta universal de $Y$ por lo que si $Y$ tiene cobertura universal contráctil, entonces cualquier mapa de este tipo es factor a través de un espacio contráctil, y por lo tanto es nulo-homotópico.
