He hecho esta pregunta a algunos físicos amigos míos y nunca he obtenido una respuesta satisfactoria: ¿Qué es topológicamente posible para una vecindad de un agujero negro? Para aclarar, tengo curiosidad por la topología como un 4-manifold, aunque también estaría interesado en escuchar acerca de tiempo-como y el espacio-como rebanadas también. He oído que un corte temporal del horizonte de sucesos puede ser un toroide o una esfera, pero esto no es realmente lo que me gustaría saber, aunque imagino que hay una estrecha relación entre la topología del horizonte de sucesos (como un 3-manifold) y la topología de un barrio del agujero negro. Por favor, pregunta si necesitas alguna aclaración.
Respuestas
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jmah
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1770
Hasta ahora J Verma y RBega han proporcionado dos descripciones sucintas sobre la topología del horizonte aparente en sí (para cualquier espacio-tiempo que admita regiones atrapadas), y así por asociación, la topología del horizonte de sucesos en un espacio-tiempo de agujero negro estacionario asintóticamente plano.
Intentaré dar respuesta a una interpretación de la pregunta que has formulado: la de la topología de un barrio del horizonte de sucesos. El que yo tenga que interpretar la pregunta se debe a que en realidad no has proporcionado una descripción de lo que entiendes por vecindad. Utilizando el teorema de la topología de Hawking se puede conseguir fácilmente que la topología del horizonte de sucesos sea $\mathbb{S}^2\times \mathbb{R}$ y es una hipersuperficie nula incrustada. Así que una vecindad tubular de ella tiene necesariamente la topología $\mathbb{S}^2\times \mathbb{R}^2$ que, para empezar, está simplemente conectado. Pero no hay absolutamente nada que te impida elegir una vecindad que sea algún conjunto abierto arbitrario que contenga el horizonte de sucesos con una topología complicada. De hecho, se puede imaginar fácilmente la eliminación de un tubo de cuatro dimensiones disjunto del horizonte de sucesos de la $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}^2$ para conseguir algo que no esté simplemente conectado.
Debido a esta libertad para elegir subconjuntos, la lectura ingenua de tu pregunta lleva a la respuesta de que "tanto como quieras".
Pero esa respuesta es bastante inútil desde el punto de vista físico: no capta nada esencial de los agujeros negros. De hecho, la respuesta dada anteriormente es idéntica a la respuesta a la siguiente pregunta: dejemos que $U$ sea un subconjunto conexo abierto de $\mathbb{R}^4$ ¿Qué tipo de topología puede $U$ ¿Admitir?
Una pregunta más útil es: dado un cuerpo gravitatorio aislado (como un agujero negro), ¿cuál es la topología del espacio-tiempo fuera de él? Y esta pregunta admite una buena respuesta. El contenido es el teorema de la censura topológica . En lenguaje de físicos, para citar Friedman, Schleich y Witt ,
la relatividad general no permite a un observador sondear la topología del espaciotiempo: Cualquier estructura topológica se colapsa demasiado rápido para permitir que la luz la atraviese.
Una primera versión se debe a Gannon , quien demostró que la hipersuperficie de Cauchy con topología no trivial generará necesariamente un desarrollo que es nulo geodésicamente incompleto. El documento FSW demostró que, bajo ciertas restricciones, toda la topología no trivial debe ocultarse tras el horizonte de sucesos.
Una generalización más fuerte del teorema de la censura topológica se debe a Galloway quien más tarde, con Schleich, Witt y Woolgar, extendió el resultado del espacio-tiempo asintóticamente plano al también asintóticamente anti-deSitter . Un supuesto crucial interesante de estos teoremas es el requisito de que el "Scri" sea nulo o similar en el tiempo.
Un artículo relacionado es éste de Schleich y Witt que no he leído en detalle, por lo que no puedo decir más al respecto.
cpcat
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11
El Teorema de Hawking de la topología del agujero negro afirma que el en caso de $4$ d agujeros negros estacionarios asintóticamente planos que satisfacen la condición de energía adecuada (condición de energía dominante), las secciones transversales del horizonte evernt son esféricas.
Galloway y Schoen extendieron este teorema a dimensiones superiores; demostraron que las secciones transversales del horizonte de sucesos (caso estacionario) y del horizonte exterior (aparente) (caso general) son de tipo Yamabe positivo. Este artículo puede consultarse en la página web de Galloway www.math.miami.edu/~galloway/papers/220_2006_19_OnlinePDF.pdf
Kevin Albrecht
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2527
Las respuestas anteriores trataban el caso físicamente relevante de $d=4$ dimensiones del espaciotiempo. Uno de los descubrimientos sorprendentes de los últimos años es que en dimensiones más altas las topologías posibles son mucho más ricas. Creo que esto empezó con el descubrimiento por Emparan y Reall de un agujero negro en $d=5$ con topología de horizonte $S^2 \times S^1$ (hep-th/0110260). El reciente artículo arXiv:1002.0490 de Hollands et. al. estudia la situación y discute restricciones en las posibles topologías del horizonte para $d=5$ agujeros negros.
Rbega
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1604
[Mientras escribía, J. Verma respondió a la pregunta de forma más sucinta, pero yo ya había escrito la mayor parte de mi respuesta, así que pensé en publicarla].
En primer lugar no soy físico ni trabajo en RG, pero he hecho varios cursos a lo largo del año así que intentaré dar alguna idea de respuesta (seguro que algún experto puede ampliarla).
Básicamente, uno quiere restringir la atención a los espaciostiempos asintóticamente planos (en 4d), es decir, los cortes espaciales completos del espaciotiempo son asintóticamente euclidianos (es decir, en una vecindad del infinito la métrica se parece a la métrica euclidiana de una manera definida). Esto modela físicamente un sistema gravitatorio aislado. Creo que probablemente también se necesite un campo vectorial temporal global no evanescente (de modo que no haya bucles cerrados temporales) y también que se cumpla la condición de energía dominante (esto es demasiado técnico para decirlo, pero físicamente significa que no entra energía en el cono de luz pasado de un punto desde fuera del cono de luz pasado).
Dada esta configuración, el horizonte de sucesos sigue sin ser un concepto fácil de comprender (depende de la estructura hiperbólica global y, por tanto, requiere que uno comprenda todo el espaciotiempo a la vez...). No estoy seguro de qué se puede decir al respecto, salvo que se trate de un espaciotiempo muy simétrico). Algo más fácil de entender son las MOTS (superficies atrapadas marginalmente externas). Para encontrarlas se toma un espacio-tiempo completo y se buscan superficies cuya área no cambie bajo el flujo de vectores nulos (esto es marginalmente atrapada) y que no haya ninguna superficie estrictamente fuera de esta superficie con esta propiedad (esto es exterior). La existencia de uno de estos implica la formación de una singularidad (¿debido a Penrose?) por lo que son sustitutos naturales de los agujeros negros (no estoy seguro de cuánto más se sabe acerca de la relación completa entre MOTS y los agujeros negros, aunque creo que entenderlo completamente es tan difícil como mostrar la censura cósmica). De todos modos, se puede demostrar que estos tipos (ya que son "estables") deben ser esferas o toros (esto es análogo a los teoremas sobre superficies mínimas) y este último tiene un resultado de rigidez adjunto que creo que hace que no sea físico (debido a Galloway y Schoen).
Espero que esto tenga sentido y no haya cometido ningún error flagrante.
