Determine el ángulo de proyección de un proyectil si su velocidad a la altura máxima es $\sqrt{\frac{2}{5}}$ de su velocidad a la mitad de la altura máxima.
Mi solución:
$$H_{max}=\frac{{v_0}^2\sin^2(\theta)}{2g}\implies \frac{1}{2}H_{max}=\frac{{v_0}^2\sin^2(\theta)}{4g}\\v_{x}=v_0\cos(\theta)\quad {v_{\frac{H}{2}y}}^2={v_0}^2\sin^2(\theta)-2g\left(\frac{{v_0}^2\sin^2(\theta)}{4g}\right)=\frac{1}{2}{v_0}^2\sin^2(\theta)\\v_0\cos(\theta)=\sqrt{\frac{2}{5}}\sqrt{{v_0}^2\cos^2(\theta)+\frac{1}{2}{v_0}^2\sin^2(\theta)}\\\cos(\theta)=\sqrt{\frac{2}{5}}\sqrt{\cos^2(\theta)+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos^2(\theta)}\\\cos^2(\theta)=\frac{1}{5}\cos^2(\theta)+\frac{1}{5}\\\cos^2(\theta)=\frac{1}{4}\implies\cos(\theta)=\frac{1}{2}\implies\theta=\frac{\pi}{3}$$ Solución encontrada en otro sitio web: $$gH_{max}=\frac{{v_0}^2\sin^2(\theta)}{2}\quad {v_x}^2={v_0}^2\cos^2(\theta)\\{v_{\frac{H}{2}}}^2={v_0}^2-2g\left(\frac{1}{2}H_{max}\right)={v_0}^2-\frac{{v_0}^2\sin^2(\theta)}{2}\\v_{0}\cos(\theta)=\sqrt{\frac{2}{5}}v_{\frac{H}{2}}\implies {v_{0}}^2\cos^2(\theta)=\frac{2}{5}{v_{\frac{H}{2}}}^2=\frac{2}{5}\left({v_0}^2-\frac{{v_0}^2\sin^2(\theta)}{2}\right)\\5\cos^2(\theta)=2-\sin^2(\theta)=1+\cos^2(\theta)\\\cos^2(\theta)=\frac{1}{4}\implies\cos(\theta)=\frac{1}{2}\implies\theta=\frac{\pi}{3}$$
Lo que no acabo de entender en la segunda solución es la aplicación de la fórmula cinemática $v^2={v_0}^2+2a\Delta d$ (segunda línea). Pensaba que la fórmula sólo era válida para la cinemática unidimensional, pero su uso aquí implicaría la adición de vectores bidimensionales, ya que la velocidad inicial y la gravedad no son vectores paralelos. ¿Puede alguien ayudarme a aclararlo?
