Busco un espacio vectorial topológico $X$ que satisfagan las siguientes propiedades:
(1) Número cardinal de $X$ es como máximo de continuo.
(2) $X$ no es un espacio hereditario de Lindelof.
(3) $X$ es un espacio vectorial topológico separable.
Respuesta
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Sea $\mathbb{S}$ sea el Línea Sorgenfrey y dejar $X = C_p( \mathbb{S})$ el espacio de las funciones continuas sobre $\mathbb{S}$ en la topología puntual (es decir, producto). Tiene un tamaño máximo de $\mathfrak{c}$ como $\mathbb{S}$ es separable. Todos los espacios $C_p(X)$ para $X$ Tychonoff son espacios vectoriales topológicos (localmente convexos) (una clase de ellos bastante interesante y muy bien estudiada).
(Para los siguientes hechos y definiciones pertinentes, véase Tkachuk A $C_p$ -Libro de problemas teóricos (Espacios topológicos y de funciones))
$d(X) = d(C_p(\mathbb{S}) = iw( \mathbb{S}) = \aleph_0$ y $C_p(\mathbb{S})$ ni siquiera es normal, y mucho menos (hereditariamente) Lindelöf (esto se puede demostrar con el lema de Jones como para el plano de Sorgenfrey). O más directamente, definamos $f_r: \mathbb{S} \to \mathbb{R}$ por $f_r(x) = 0$ si $x < r$ , $f_r(x)= 1$ si $x \ge r$ para $r \in \mathbb{S}$ y observe que $S=\{f_r : r \in \mathbb{S}\}$ es un subespacio discreto en sí mismo de $C_p(\mathbb{S})$ de tamaño $\mathfrak{c}$ para que $C_p(\mathbb{S})$ no puede ser hereditariamente Lindelöf. También se puede demostrar que $S$ también es cerrado y entonces la separabilidad de $C_p(\mathbb{S})$ muestra por el lema de Jones que no es normal, mientras que un espacio de Lindelöf Tychonoff sería normal. Pero esto es más trabajo y $S$ es suficiente para su propósito.
En cierto modo, el ejemplo más sencillo es $\mathbb{R}^{\omega_1}$ en la topología del producto, que no es más que $C_p(D(\omega_1))$ por supuesto, pero esto sólo satisface consistentemente (1); en algunos modelos de ZFC tenemos $2^{\aleph_1} = 2^{\aleph_0}$ en otros tenemos una desigualdad estricta. Sin la demanda (1) ese espacio habría sido mi ejemplo.
