Integral de $\int\frac{dx}{(x^4-1)^{3/2}}$

Question

Puede $$\int\frac{dx}{(x^4-1)^{3/2}}$$ representarse en términos de integrales elementales?

He probado múltiples sustituciones, como $x^2=\sec(t)$ o $\sqrt{x^4-1}=t$ pero nada parece funcionar. Por favor, proporcione alguna idea.

Answer 1

Este será un camino, pero os advierto que lo que obtendremos al final necesitará de una enorme ayuda computacional del mismo.

Empezando a escribir la función integrando como

$$S = \int\left(x^4\left(1 - \frac{1}{x^4}\right)\right)^{-3/2}\ \text{d}x$$

Arreglando un poco

$$S = \int x^{-6} \left(1 - \frac{1}{x^4}\right)^{-3/2}\ \text{d}x$$

Ahora podemos utilizar la serie binomial para la expresión entre paréntesis:

$$S = \int x^{-6}\sum_{k = 0}^{+\infty}\binom{-3/2}{k}\left(-\frac{1}{x^4}\right)^k\ \text{d}x$$

Arreglar de nuevo

$$S = \sum_{k = 0}^{+\infty}(-1)^k \binom{-3/2}{k}\int x^{-6-4k}\ \text{d}x$$

La integración es trivial y obtendrás al final la serie

$$S = \sum_{k = 0}^{+\infty}(-1)^k \binom{-3/2}{k}\frac{x^{-5-4k}}{-5-4k}$$

La serie sí converge a una función llamada hipergeométrica, que es:

$$S = -\frac{_2F_1\left(\frac{5}{4},\ \frac{3}{2},\ \frac{9}{4},\ \frac{1}{x^4}\right)}{5x^5}$$

El gráfico de esta función es

Más sobre funciones hipergeométricas:

http://mathworld.wolfram.com/HypergeometricFunction.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Hypergeometric_function

Si no, siempre puedes recurrir a la integral elíptica de Jacobi como se ha mencionado.

Answer 2

A partir de la fórmula 260.78 de Byrd/Friedman hacemos la sustitución $x=\mathrm{nc}\left(u\mid\frac12\right)$ donde $\mathrm{nc}\left(u\mid m\right)$ es una función elíptica de Jacobi con parámetro $m$ . Se obtiene la integral

$$\int\frac1{\mathrm{nc}^4\left(u\mid\frac12\right)-1}\mathrm du$$

Obviando el enrevesado álgebra (pero si quieres hacerlo tú mismo, utiliza las fórmulas 320.02 y 361.61 de Byrd/Friedman tras una descomposición parcial de fracciones, y luego deshaz la sustitución), obtenemos finalmente el resultado

$$-\frac{1}{2\sqrt{2}}F\left(\cos^{-1}\left(\frac1{x}\right)\mid\frac12\right)-\frac{x}{2\sqrt{x^4-1}}$$

donde $F(\phi\mid m)$ es la integral elíptica incompleta de primer orden con amplitud $\phi$ y módulo $m$ .

Answer 3

Caso $1$ : $|x^4|\leq1$

Entonces $\int\dfrac{dx}{(x^4-1)^\frac{3}{2}}$

$=\int\dfrac{i}{(1-x^4)^\frac{3}{2}}dx$

$=\int\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{i(2n+1)!x^{4n}}{4^n(n!)^2}dx$

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{i(2n+1)!x^{4n+1}}{4^n(n!)^2(4n+1)}+C$

Caso $2$ : $|x^4|\geq1$

Entonces $\int\dfrac{dx}{(x^4-1)^\frac{3}{2}}$

$=\int\dfrac{dx}{x^6\left(1-\dfrac{1}{x^4}\right)^\frac{3}{2}}$

$=\int\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(2n+1)!x^{-4n-6}}{4^n(n!)^2}dx$

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(2n+1)!x^{-4n-5}}{4^n(n!)^2(-4n-5)}+C$

$=-\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(2n+1)!}{4^n(n!)^2(4n+5)x^{4n+5}}+C$