Resuelva $y'' - k^2 xy = 0$

Question

En general, para resolver ecuaciones de segundo orden de con coeficientes no constantes, ¿debemos intentar siempre soluciones en serie?

¿Hay alguna forma de resolverlo?

$y'' - k^2 xy = 0$

para k constante? ¿Puede "adivinar" la función complementaria aquí, aunque no estoy seguro de cómo hacerlo?

Answer 1

La solución buscada viene dada por $$y \left( x \right) ={\it \_C1}\,{{\rm Ai}\left(-\sqrt [3]{-{k}^{2}}x \right)}+{\it \_C2}\,{{\rm Bi}\left(-\sqrt [3]{-{k}^{2}}x\right)} $$ $$Ai$$ es la llamada función de Airy