Evalúe

Question

Evaluar %#% $ #%

Es mi primera vez para enfrentar la integración como eso. Solo necesito una pista para empezar ya que he intentado, pero no funciona

Gracias de antemano

Answer 1

Por la fuerza bruta y con la ayuda de las respuestas anteriores, creo que la respuesta es:

Si $n$ es par, entonces:

$$I_n = \sum_{k=0}^{n-2} (-1)^k (2k)!\, x^{n-2k} \sin x + \sum_{k=0}^{n-2} (-1)^k k!\, x^{n-(2k+1)} \cos x + (-1)^{n/2} n!\, I_0,$$

$I_n=\int x^n \cos x\, dx$ y $I_0=\sin x$. Si $n$ es impar, entonces:

$$I_n = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k (2k)!\, x^{n-2k} \sin x + \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k k!\, x^{n-(2k+1)} \cos x + (-1)^{(n-1)/2}(n-1)!\,(x \sin x+\cos x)$$

Answer 2

Integración por partes: $ I_n = \int x ^ n\cos x dx = x ^ n\sin x + n\int x ^ {n-1}(-\sin x) dx $$ y $$ \int x ^ {n-1}(-\sin x) dx = x ^ {n-1} \cos x - \int (n-1) x ^ \cos {n-2} x dx = x ^ {n-1} \cos x - (n-1) I_ {n-2} $$ lo $$ I_n = x ^ n\sin x + nx ^ {n-1} \cos x - n (n-1) I_ {n-2}. $$

Answer 3

Si usted está buscando una primitiva, le deseo buena suerte, pero un comienzo podría ser:

dos de integración por partes (integrar dos veces la cos) para conseguir algo que espero será una repetición entre $I_n$y $I_{n-2}$

Answer 4

{opción 1} Hay una secuencia en la respuesta. Esperas algo de la forma (de la $x^{327}$ plazo):

$ \sum^{327}_{k=0} a_k x^k \cos{x}$.

Si se puede postular la secuencia, se puede mostrar que encaja de las cosas que he escrito hasta ahora. Que deberían ser suficientes para completar una prueba por inducción del postulado de respuesta.

{opción 2} Lo que yo, personalmente, haría aquí es mirar a la expansión de taylor de $x^n \cos{x}$. Esa es una potencia de la serie, por lo que es fácilmente integrable; el uso que.

E. g. $f(x) = x^{327} \cos{x}$

$f_1(x) = 327 x^{326} \cos{x} - x^{327} \sin{x}$

$f_2(x) = 327 \cdot 326 x^{325} \cos{x} -327x^{326} \sin{x} - 327x^{326}\sin{x} - x^{327} \cos{x}$

A partir de este solo, me iba a suponer algo a lo largo de las líneas (PD: me he dado algún tipo de forma que parece válida. No se ajustó a lo $f_1$ $f_2$ aspecto.): $f_k(x) = \sum^k_{n=1} {k \choose n} x^{327-n} \cos{x} + g_k(x)$ donde $g_k(x)$ es una suma similar a $f_k(x) - g_k(x)$.

Acaba de escribir un par de términos, y tratar de ver algún tipo de secuencia. Si usted puede demostrar que los términos que has escrito ¿el hecho de que siguiendo el postulado de la secuencia y, a continuación, tomar una muestra aleatoria $k$ y diferencian, debe ser igual a $f_{k+1}$. Si lo hace, haya cumplido los requisitos para una prueba por inducción y se han encontrado una serie de $f_k(x)$.

Usted puede entonces succintly escribir la expansión de taylor de $f(x)$ alrededor de C y por lo tanto integrar su función (debido a la expansión de taylor es una potencia de la serie). Complete la secuencia de $f_k(x)$ y tiene una expresión completa de la integral. Puede que no sea bonita, pero como tomar un número infinito de términos de la serie de taylor, es la función que se está expandiendo; por lo que es una solución analítica.

Esa es la única manera que veo para ir. Tenga en cuenta que este tipo de ejercicio es un montón de trabajo, y con la que mis profesores no eran malos suficiente para dar a nosotros. Por otro lado, es un muy buen ejercicio para hacer, porque tienes que ser muy cuidadoso/ordenado.