La desigualdad. $\frac{ab+c}{a+b}+\frac{ac+b}{a+c}+\frac{bc+a}{b+c} \geq 2.$

Question

Sea $a,b,c$ sean números reales positivos tales que $a+b+c=1$ . Demostrar que (utilizando desigualdades de reordenación, también puede ver este ejercicio aquí ejercicio número 3.1.8 )

$$\frac{ab+c}{a+b}+\frac{ac+b}{a+c}+\frac{bc+a}{b+c} \geq 2.$$

Gracias.

Answer 1

Observe $a + b = 1 - c$ , $a + c = 1 - b$ y $b + c = 1 - a$ por lo que la desigualdad deseada es $$\frac{ab+c}{1 - c}+\frac{ac+b}{1 - b}+\frac{bc+a}{1 - a} \geq 2$$ Del mismo modo, sustituimos $c = 1 - a - b$ , $b = 1 - a - c$ y $a = 1 - b - c$ en el numerador, y la desigualdad deseada se convierte en $$\frac{ab + 1 - a - b }{1 - c}+\frac{ac+1 - a - c}{1 - b}+\frac{bc+ 1 - b - c}{1 - a} \geq 2$$ Esto se puede reescribir como $$\frac{(1 - a)(1-b)}{1 - c}+\frac{(1 - a)(1 - c)}{1 - b}+\frac{(1 - b)(1 - c)}{1 - a} \geq 2$$ Es natural dejar que $A = 1 - a$ , $B = 1 - b$ y $C = 1 - c$ aquí. Así que queremos mostrar bajo la condición de que $A + B + C = 2$ que tenemos lo siguiente. $$\frac{AB}{C}+\frac{AC}{B}+\frac{BC}{A} \geq 2 {\hspace 1 in}(*)$$ Sin pérdida de generalidad, podemos suponer $A \leq B \leq C$ . Entonces la desigualdad de reordenación dice que el lado izquierdo de $(*)$ es al menos tan grande como el que se obtiene con cualquier permutación del denominador. Así que tienes $$\frac{AB}{C}+\frac{AC}{B}+\frac{BC}{A} \geq \frac{AB}{A}+\frac{AC}{C}+\frac{BC}{B}$$ $$ = B + A + C$$ $$ = 2$$

Answer 2

Utilizar la identidad $\displaystyle\frac{ab+c}{a+b}=\frac{ab+c^2}{a+b}+c,$ basta con comprobar que $$\sum_{cyc}\frac{ab}{a+b}+\sum_{cyc}\frac{c^2}{a+b}\geq a+b+c.$$ Obsérvese que las secuencias $\{a^2,b^2,c^2\}$ y $\left\{\dfrac{1}{b+c},\dfrac{1}{c+a},\dfrac{1}{a+b}\right\}$ se ordenan de forma similar, de modo que obtenemos $$\sum_{cyc}\frac{c^2}{a+b}\geq\sum_{cyc}\frac{a^2}{a+b},$$ Que, de acuerdo con $\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{a^2}{a+b}=a,$ nos lleva al resultado deseado. La igualdad se produce en la desigualdad original si y sólo si $a=b=c.$ $\Box$

Answer 3

Un enfoque (que probablemente no es lo que quieres decir con "usar reordenamientos de desigualdades"...) es encontrar el mínimo del lado izquierdo de tu desigualdad sujeto a la condición de que $a+b+c=1$ utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange. Un cálculo sencillo -y lo que es más importante, muy sencillo- muestra que hay un único punto extremo, que tiene que ser un mínimo, y evaluando allí se ve que el valor extremo es $2$ .

Hemos inventado los ordenadores para que hagan este tipo de cosas por nosotros: usando Mathematica, obtengo

In[27]:= f = (a b + c)/(a + b) + (a c + b)/(a + c) + (b c + a)/(b + c);

In[28]:= sol = Solve[
  {D[f, a] == k, D[f, b] == k, D[f, c] == k, a + b + c == 1, a > 0, 
   b > 0, c > 0},
  {a, b, c, k}
  ]

Out[28]= {{a -> 1/3, b -> 1/3, c -> 1/3, k -> 1/2}}

In[29]:= f /. sol[[1]]

Out[29]= 2

Answer 4

La desigualdad es la siguiente $$\frac{(b+c)(c+a)}{a+b}+\frac{(a+c)(a+b)}{b+c}+\frac{(a+b)(b+c)}{a+c}\geq 2$$ Sea $a+b=z,b+c=x,c+a=y$ entonces $x+y+z=2$ . Por lo tanto $$x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}\geq xyz(x+y+z)$$ Esto es cierto por AM-GM.

P/s: Perdón por mi mal inglés.