Métrica inducida por un mapeo suryectivo

Question

Sea $f$ sea un mapeo continuo de un espacio métrico compacto $(X, d)$ en un espacio de Hausdorff $(Y, \tau_1)$ .

Si $d$ es una métrica en $X$ cómo demostrar que $$d_1(y_1, y_2) := \inf\{d(a, b) : a \in f^{-1}(y_1)\text{ and }b \in f^{1}(y_2)\}$$ ¿es una métrica en Y?

Puedo ver que nunca es $0$ cuando $y_1$ no es igual a $y_2$ . Pero, ¿cómo puedo demostrar que cumple la desigualdad del triángulo?

En realidad estoy leyendo la siguiente página de un libro.

Answer 1

Desgraciadamente, $d_1$ no es una métrica en general (estaría bien que pudiéramos impulsar métricas así...)

Por ejemplo $f:[0, 3]\to [0, 2]$ sea la función que envía $0, 1, 2, 3$ a $0, 1, 1, 2$ respectivamente, y es lineal entre ambos. (En particular, $f\equiv 1$ en $[1, 2]$ .) Entonces $$ d_1(0, 1) = \operatorname{dist}(f^{-1}(0), f^{-1}(1)) = \operatorname{dist}(\{0\}, [1, 2]) = 1 $$ y $$ d_1(1, 2) = \operatorname{dist}(f^{-1}(1), f^{-1}(2)) = \operatorname{dist}( [1, 2], \{2\}) = 1 $$ pero $$ d_1(0, 2) = \operatorname{dist}(f^{-1}(0), f^{-1}(2)) = \operatorname{dist}(\{0\}, \{3\}) = 3 $$ violando la desigualdad del triángulo.