Isomorfismo entre pull-backs de un cristal F por diferentes liftings de Frobenius

Question

Puede que sea una pregunta ingenua. Pero como no la he visto en ninguna referencia, intentaré hacerla aquí. Sea $T$ sea un esquema suave sobre el campo algebraicamente cerrado $k$ de característica $p>0$ (podemos suponer que $T$ es afín). Sea $\mathbb{T}$ sea una elevación suave de $T$ sobre el ring $W_{2}(k)$ el anillo de los vectores witt de longitud 2 sobre k. Ahora bien, si $H_{\mathbb{T}}$ es un cristal F en $\mathbb{T}$ y $F_{1}$ y $F_{2}$ son dos elevaciones de Frobenius $F_{T}$ en T a $\mathbb{T}$ sé que debe existir un isomorfismo $X(F_{1}, F_{2})$ entre $F_{1}^*H_{\mathbb{T}}$ y $F_{2}^*H_{\mathbb{T}}$ procedente de la nconexión en $H_{\mathbb{T}}$ . ¿Cuál es la fórmula explícita de este isomorfismo?

Answer 1

Esto es transporte paralelo. Nótese que sólo se obtiene una fórmula explícita para el isomorfismo entre $F_1^*H(\mathbb{T})$ y $F_2^*H(\mathbb{T})$ . Para obtener fórmulas explícitas sobre otros espesamientos de $\mathbb{T}$ necesitaría ascensores de ambos $\mathbb{T}$ y también de los ascensores de Frobenius. Por comodidad, fijemos $H_1=H(\mathbb{T})$ . Supondremos que $\mathbb{T}$ tiene coordenadas \'etale $x_1,\ldots,x_n$ .

Desde $H_{\mathbb{T}}$ es un cristal sobre $\mathbb{T}$ hay una conexión plana $\nabla:H_1\to H_1\otimes\Omega^1_{\mathbb{T}/W_2(k)}$ . Obsérvese que, para cualquier $a\in\mathcal{O}_{\mathbb{T}}$ , $\delta(a)=F_1(a)-F_2(a)$ está en $p\mathcal{O}_{\mathbb{T}}$ en particular, $\delta(a)^2=0$ . Ahora, para cualquier $h\in H_1$ el isomorfismo envía $F_1^*h$ a $F_2^*h+\sum_{i=1}^n\nabla(\partial_i)(m)\delta(x_i)$ . Esto no es más que una expansión de Taylor hasta el primer grado.