Combinaciones con sustitución

Question

En una fábrica hay 40 empleados. Se elige un sindicato de 5 personas. ¿Cuántas combinaciones hay para un sindicato, si el sindicato contiene 5 funciones diferentes, y cada empleado puede desempeñar más de una función (hasta 5).

Gracias.

Answer 1

Asumo que cada rol puede ser asignado a una persona, aunque cualquier persona puede tener más de un rol.

Existen $\binom{40}{5}$ formas de elegir a cinco miembros del sindicato. Puesto que hay cinco funciones que asignar, y cada función puede asignarse a uno de $5$ miembros del sindicato, hay $5^5$ formas de asignar los cinco papeles a los cinco miembros del sindicato elegidos.

Utilizando la regla del producto, obtenemos $$\binom{40}{5} \cdot 5^5 = \frac{40!}{5!\,35!\,}\cdot 5^5 = \frac{40\cdot 39 \cdot 38\cdot 37 \cdot 36}{24}\cdot 5^4$$ maneras de llevar a cabo esta tarea. Puedes facilitar el cálculo haciendo algunas buenas cancelaciones.

Answer 2

Supongamos que las tareas son presidente, banquero, bibliotecario, ministro y general.

Luego están $40$ opciones para presidente, $40$ opciones para banquero, $40$ opciones para bibliotecario, $40$ opciones para el ministro y $40$ opciones para General. Así, hay $40^5$ posibles comités.