de Riemann $\zeta$ y la distribución uniforme en $[-1,0]$

Question

https://math.stackexchange.com/questions/64566/riemanns-zeta-function-and-the-uniform-distribution-on-1-0

Stackexchange no se está entusiasmando con esto, así que aquí está.

En $n$ cumulante de la distribución de probabilidad uniforme en el intervalo $[-1,0]$ es $B_n/n$ donde $B_n$ es el $n$ número de Bernoulli.

Y $-\zeta(1-n)=B_n/n$ donde $\zeta$ es la función de Riemann.

Esos dos hechos se pueden derivar, pero ¿hay algún argumento que demuestre, sin hacer eso, que usted espere los cumulantes de la distribución uniforme serán los valores de la $\zeta$ ¿función?

¿Podría esto arrojar algo de luz sobre la $\zeta$ o la distribución uniforme? ¿O cualquier otra cosa?

Apéndice: Los cumulantes son como los momentos, pero mejores. El $n$ El cumulante de una distribución de probabilidad es homogéneo de grado $n$ (como el $n$ momento). Si $n=1$ es equivariante por desplazamiento; si $n>1$ es invariante por desplazamiento (como el $n$ th central momento). Si $X_1,X_2,X_3,\ldots$ son variables aleatorias independientes, entonces la $n$ cumulante de la distribución de su suma es simplemente la suma de las $n$ de sus distribuciones. Esta última propiedad sólo la comparten los momentos centrales en los casos $n=2,3$ (donde el cumulante es sólo el momento central). Ejemplo no trivial más sencillo: el 4º cumulante es el cuarto momento central menos 3 veces el cuadrado del segundo momento central.

Además (¿debería ser una pregunta aparte?): El número de ensayos Bernoulli independientes que preceden estrictamente al primer éxito, con probabilidad $1/(1+c)$ de éxito en cada ensayo, es una variable aleatoria geométricamente distribuida con valor esperado $c$ tomando valores en el conjunto $\lbrace 0,1,2,\ldots \rbrace$ . Los primeros cumulantes de esa distribución son los siguientes $$ \begin{align} & c \\ & c+c^2 \\ & c + 3c^2 + 2c^3 \\ & c + 7c^2 + 12c^3 + 6c^4 \\ & c + 15c^2 + 50c^3 + 60c^4 + 24c^5 \\ & c + 32c^2 +180c^3+390c^4+360c^5+120c^6 \end{align} $$ La distribución de probabilidad del número de aciertos en un solo ensayo, con probabilidad $c$ de éxito en cada ensayo, tiene cumulantes $$ \begin{align} & c \\ & c-c^2 \\ & c - 3c^2 + 2c^3 \\ & c - 7c^2 + 12c^3 - 6c^4 \\ & c - 15c^2 + 50c^3 - 60c^4 + 24c^5 \\ & c - 32c^2 +180c^3-390c^4+360c^5-120c^6 \end{align} $$ Son iguales salvo por la alternancia de signos.

Si fuera posible que la probabilidad fuera $-c$ donde $c>0$ esta secuencia sería simplemente $-1$ veces la secuencia de cumulantes de la distribución geométrica. Del mismo modo, la secuencia de valores de $\zeta(1-n)$ es $-1$ veces la secuencia de cumulantes de la distribución de probabilidad especificada anteriormente. Podría $\zeta(1-n),\quad n=1,2,3,\ldots$ sea la secuencia de cumulantes de una distribución que existiría si permitiéramos probabilidades negativas (pero aún así exigiéramos que la medida de todo el espacio de probabilidad fuera $1$ )?

En caso afirmativo, ¿tenemos dos casos de un fenómeno que pueda afirmarse de forma general?

Answer 1

$X$ es la distribución uniforme en $[-1,0]$ por lo que la función generadora de momentos de $X$ es $$E(e^{tX})=\lim_{k\to\infty} \frac{1}{k}\left(1+e^{-t/k}+\dots+e^{-(k-1)t/k}\right)=\lim_{k\to\infty} \frac{1}{k}\frac{1-e^{-t}}{1-e^{-t/k}}=\frac{1-e^{-t}}{t}$$ La función generadora del cumulante es el logaritmo de esto, llámalo $g(t)$ . Será más fácil calcular la serie de Taylor de $tg'(t)+1$ : $$tg'(t)+1=-\frac{t}{1-e^t}=-\sum_{k=0}^\infty te^{kt}=-t\sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty \frac{k^nt^{n}}{n!}$$ Reordena el orden de la suma: $$tg'(t)+1=-t\sum_{n=0}^\infty \zeta(-n)\frac{t^n}{n!}$$ Ahora compare los coeficientes de ambos lados: el $n$ cumulante de $X$ es claramente $-\zeta(1-n)$ .

¿Cómo? ¿Por qué me miras así?