Diagrama frente a expansión de gradiente

Question

Supongamos que se parte de la ecuación de Dyson $\int dy\left[G^{-1}\left(x_{1},y\right)\cdot G\left(y,x_{2}\right)\right]=\delta\left(x_{1}-x_{2}\right)$ con $G$ alguna función de Green. Normalmente se puede cortar $G^{-1}=G_{0}^{-1}+G_{\text{int}}^{-1}$ en dos partes, siendo una de ellas exactamente resoluble en términos de algún propagador $G_{0}$ de (por ejemplo) una teoría libre. Entonces uno expande la solución del problema completo en términos del propagador libre usando algún Serie Dyson . Este proceso está en la base del llamado ampliación de diagramas y está bien documentado tanto en situaciones de alta energía como de materia condensada. En este enfoque, uno puede agrupar algunos diagramas para establecer alguna teoría efectiva, o para resolver algunos problemas dedicados, como el gas de partículas diluidas por ejemplo, a todos los órdenes de alguna subclase de diagramas, ....

Lo que suele estar menos documentado (al menos a mi gusto), es el siguiente enfoque : primero se transforma la ecuación de Dyson hacia la llamada Representación de Wigner-Weyl transformándolo en algo como $G^{-1}\left(p,x\right)\star G\left(p,x\right)=1$ con el $G\left(p,x\right)$ la transformada de Wigner de $G\left(x_{1},x_{2}\right)$ y donde el $\star$ -/producto-estrella puede definirse rigurosamente como $\star\approx 1+i\hbar\left(\overleftarrow{\partial}_{x}\overrightarrow{\partial}_{p}-\overleftarrow{\partial}_{p}\overrightarrow{\partial}_{x}\right)/2+\cdots$ hasta órdenes superiores no me importa mucho aquí. La forma de truncar la expansión en un orden dado se llama expansión de gradiente (no conozco ninguna buena referencia para la revisión pedagógica de esta expansión, así que por favor añade una si conoces tal cosa :-)

Está claro que partiendo de la misma ecuación, y simplemente transformando mediante la transformada de Fourier y/o la transformada de Wigner no debería cambiar mucho el problema, pero después de estos pocos pasos, la diagramática o la expansión de gradiente se desarrollan por sí solas. Me pregunto si hay alguna relación entre los dos enfoques como, por ejemplo, complementariedad (los dos métodos dan resultados en regímenes diferentes, por ejemplo), equivalencia (los dos métodos dan de hecho el mismo resultado hasta [ qué ?] ...), ... Cualquier tipo de recurso (respuesta documentada, cita a una referencia (accesible), comentario, ...) será bienvenido.

Answer 1

Su pregunta es demasiado abierta, y yo dejaría de lado las cuestiones prácticas. Pero las traducciones del mapa de Wigner-Weyl son completamente inyectivas e inequívocas, resumidas en un crib-Capítulo 12 en el folleto referenciado más abajo, (Ch 0.18 en las notas de actualización enlazadas más abajo.)

Un operador (gótico) ${\mathfrak G}$ tiene representaciones equivalentes de los elementos de la matriz del espacio de coordenadas, por un lado, $$ \langle x | {\mathfrak G} | y \rangle , $$ y, equivalentemente, las transformadas de Wigner ( ${\mathfrak G}\mapsto g(x,p) $ ) en el espacio de fase, que son transformadas de medio Fourier aparentemente perversas de éstas,
$$ g(x,p) = \hbar \int dy~ e^{-iyp} \left \langle x +\frac{\hbar}{2}y \right | {\mathfrak G}({\mathfrak x},{\mathfrak p}) \left | x-\frac{\hbar}{2}y \right \rangle\\ = \frac{\hbar}{2\pi} \int d\tau d\sigma ~ e^{i(\tau p + \sigma x)} \operatorname{Tr}\left ( e^{-i(\tau {\mathfrak p} + \sigma {\mathfrak x})} {\mathfrak G} \right ) , $$ hasta que se pone de manifiesto la genialidad del giro: en los años 40, dos estudiantes universitarios tardaron una década en convencer al mundo...

Dada esta transformada de Wigner, se puede reconstruir tanto el operador a través del mapa de Weyl, \begin{equation} {\mathfrak G}({\mathfrak x},{\mathfrak p}) =\frac{1}{(2\pi)^2}\int d\tau d\sigma dx dp ~g(x,p) \exp \Bigl ( i\tau ({\mathfrak p}-p)+i\sigma ({\mathfrak x}-x) \Bigr ) , \end{equation} y sus núcleos del espacio de coordenadas mediante una simple inversión de Fourier, $$\langle x | {\mathfrak G} | y \rangle = \int\! \frac{dp}{2\pi\hbar} ~ \exp\left( i p {(x-y)\over \hbar} \right ) ~ g\left( {x+y\over 2}, p\right) . $$

Observa además las trazas y las reglas de multiplicación de estos objetos, $$ h~ \hbox{Tr}{\mathfrak G} = \int\! dx dp~ g =h\! \int\! dx ~ \langle x|{\mathfrak G} |x\rangle $$ $$h \hbox{Tr}({\mathfrak G} {\mathfrak F})= h\! \int\! dx dy ~ \langle x|{\mathfrak G} |y\rangle \langle y|{\mathfrak F} |x\rangle =\int\! dx dp~ g(x,p)f(x,p) ~.$$

Ahora bien, esta última ecuación es engañosamente sencilla, ya que la imagen de Wigner de un producto equivale en realidad a $$ {\mathfrak G} {\mathfrak F} \qquad \mapsto \qquad f\star g . $$ Sin embargo, dentro de una integral de espacio-fase, sólo uno $\star$ -el producto se integra por partes, por lo que $\int dx dp ~g\star f= \int dx dp~ gf $ arriba.

(Es sutil. Vea cómo se evade en la correspondencia anterior que escribí, Teorema fundamental de Groenewold de la formulación, \begin{equation} {\mathfrak F}~{\mathfrak G}= \frac{1}{(2\pi)^2}\int d\tau d\sigma dx dp ~\exp i \Bigl (\tau ( {\mathfrak p}-p)+\sigma ( {\mathfrak x}-x)\Bigr ) ~(f\star g)(x,p) ~; \end{equation} es crucial aquí apreciar el paréntesis alrededor de $f\star g$ es decir, que la estrella es que no actúa sobre la exponencial de la izquierda y, por tanto, no puede integrarse. Eliminar estrellas no es un juego de niños).

Los operadores de identidad lo son, por supuesto, $$ \mathbb{1} \qquad \mapsto \qquad 1,\\ \langle x|{\mathbb 1} |y\rangle=\delta(x-y) . $$

Dada esta correspondencia completa, la combinatoria de su expansión de Dyson debería ser idéntica... pero las técnicas de simplificación, por supuesto, notablemente diferentes.

Tu ecuación de Fredholm no relativista inicial, entonces, $$ {\mathfrak G}={\mathfrak G}_0 -{\mathfrak G}_0 {\mathfrak G}_{int}^{-1} {\mathfrak G} $$ Mapas de Wigner a $$ g(x,p)= g_0 - g_0 \star V \star g ~, $$ donde, recordemos, el $\star$ es asociativo y V(x) es el potencial, o, si la interacción es más desordenada, sólo la imagen de Wigner de su ${\mathfrak G}_{int}^{-1}$ .

• El acoplamiento Neumann serie de expansión de este en el espacio de fase, $ g(x,p)= g_0 - g_0 \star V \star g_0 + g_0 \star V \star g_0 \star V \star g_0 +...$ no es el $\hbar$ -expansión gradiente, por supuesto, rara vez se recomienda. Así que no esperes comparar bucles de Feynman y órdenes de *producto y obtener resultados relacionados. (Véase, por ejemplo, Ch 0.17 en el pdf enlazado más abajo.) Lo que he esbozado aquí es sólo cómo transcribir expansiones recursivas genéricas en el espacio de fase.

Referencias:

Para la documentación, puede considerar nuestra folleto ISBN: 978-981-4520-43-0, Prensa imperial . El libro de W. Schleich también es de buen gusto.