Demostrar

Question

¿Cómo probar esta desigualdad? $$\left(\frac{n+1}{\text{e}}\right)^n<n!<\text{e}\left(\frac{n+1}{\text{e}}\right)^{n+1}$$

Answer 1

Multiplicando todo por $\,e^n\,$ y haciendo un poco de álgebra se obtiene una más fácil, la omi, la expresión de probar:

$$(n+1)^n<e^nn!<(n+1)^{n+1}$$

$$n=1:\;\;\;\;\;\;2<e\cdot 1!<(2)^2\Longleftrightarrow 2<e<4\ldots\text{true.}$$

Supongamos ahora para $\,n\,$ y probar para $\,n+1\,$:

$$(n+1)^n<e^nn!<(n+1)^{n+1}\stackrel ?\Longrightarrow (n+2)^{n+1}<e^{n+1}(n+1)!<(n+2)^{n+2} $$

Centrémonos en el derecho de la desigualdad:

$$e^{n+1}(n+1)!=e(n+1)e^nn!\stackrel{\text{ind. hypot.}}<e(n+1)(n+1)^{n+1}=e(n+1)^{n+2}$$

Así que ahora es suficiente para demostrar que

$$e(n+1)^{n+2}<(n+2)^{n+2}\Longleftrightarrow e<\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\ldots$$

y voy a dejar el toque final a usted (sugerencia: recuerde que el límite de la definición del número de $\,e\,$ ...)

Para la mano izquierda de la desigualdad: el mismo inductivo de la asunción y

$$e^{n+1}(n+1)!=e(n+1)e^nn!\stackrel{\text{ind. hyp.}}>e(n+1)(n+1)^n=e(n+1)^{n+1}$$

eso es suficiente para mostrar

$$e(n+1)^{n+1}>(n+2)^{n+1}\Longleftrightarrow e>\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$$

De nuevo, con la misma pista como en el final de la primera parte, dar el toque final aquí.

Answer 2

En primer lugar indicar que $\log n! = \sum_{x=1}^n \log x$. Ahora, podemos simplemente enlazamos la suma desde arriba y abajo por:\begin{align} & \int_1^n \log (x) \, dx \leq \sum_{x=1}^n \log (x) \leq \int_0^n \log (x+1) \, dx \\ \Leftrightarrow & n \log(n )-n+1 \leq \log n! \leq (n+1)\log(n+1)-n \\ \Leftrightarrow & n \log(\frac ne )+1 \leq \log n! \leq (n+1)\log(\frac{n+1}{e})+1 \end {Alinee el} ahora se aplica la función exponencial para obtener\begin{align} & n \log(\frac ne )+1 \leq \log n! \leq (n+1)\log(\frac{n+1}{e})+1 \\ \Leftrightarrow &\Bigl(\frac ne\Bigr)^n e \leq n!\leq \Bigl(\frac{n+1}{e}\Bigr)^{n+1}e \end {Alinee el} esto no es exactamente lo que pediste, pero considere lo siguiente:\begin{align} \Bigl(\frac{n+1}{e}\Bigr)^n =\Bigl(\frac{n}{e}\Bigr)^n\Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)^n =\Bigl(\frac{n}{e}\Bigr)^n\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^n\leq\Bigl(\frac{n}{e}\Bigr)^n e \end {Alinee el} porque $\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^n$ es monótona creciente y convergiendo hacia $e$ (hay varias pruebas). Así\begin{align} \Bigl(\frac{n+1}{e}\Bigr)^n\leq \Bigl(\frac{n}{e}\Bigr)^n e \leq n!\leq \Bigl(\frac{n+1}{e}\Bigr)^{n+1}e \end {Alinee el}

Answer 3

Yo no era capaz de completar la totalidad de la prueba en detalle, pero aquí es un boceto de todos modos. Hay algunos problemas menores con respecto a lo que sucede cuando $n =0,1$, pero en los dos casos pueden ser tratados por separado (y trivialmente). Primero un par de observaciones

• $f(x)=\log_e(x)$ es una función creciente de $x>1$
• Considerando rectángulos de ancho 1 y la altura de la $f(x)$$x=1 $$n$, vemos que $$f(1)+f(2)+...+f(n-1)<\int_1^{n} \log_e(x)dx<f(1)+f(2)+...+f(n) $$

El uso básico de registro de leyes para el exterior de los términos, y la evaluación de la integral en el medio, obtenemos $$\log_e(n!)<\log_en^n-n+1<\log_e((n+1!))$$ Exponentiating y algunos reordenamientos dar $$(n-1)!<\frac{n^{n}}{e^{n-1}}<n!$$

Esto nos da la desigualdad en el derecho a $n!<\frac{(n+1)^{n+1}}{e^n}$ cuando se reemplace$n$$n+1$. También tenemos $$\frac{n^{n}}{e^{n-1}}<n!$$ que es casi lo que quería, excepto que necesitamos $\frac{(n+1)^n}{e^n}$ lugar en el lado izquierdo. Queda entonces para mostrar que $$\frac{(n+1)^n}{e^n}<\frac{n^{n}}{e^{n-1}}\Leftrightarrow (n+1)<(e^{\frac{1}{n}}n)$$

Esto puede verse fácilmente para ser verdad si nos fijamos en la expansión de la serie de $(e^{\frac{1}{n}}n)-(n+1) $ (los dos primeros términos de $(e^{\frac{1}{n}}n)$ cancela con $-(n+1)$)